题目内容
已知如图,矩形OABC的长OA=
,宽OC=1,将△AOC沿AC翻折得△APC.
(1)求∠PCB的度数;
(2)若P,A两点在抛物线y=-
x2+bx+c上,求b,c的值,并说明点C在此抛物线上;
(3)(2)中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D,与x轴相交于另外一点E,若点M是x轴上的点,N是y轴上的点,以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形,试求点M、N的坐标.

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(1)求∠PCB的度数;
(2)若P,A两点在抛物线y=-
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(3)(2)中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D,与x轴相交于另外一点E,若点M是x轴上的点,N是y轴上的点,以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形,试求点M、N的坐标.

(1)在Rt△OAC中,OA=
,OC=1,则∠OAC=30°,∠OCA=60°;
根据折叠的性质知:OA=AP=
,∠ACO=∠ACP=60°;
∵∠BCA=∠OAC=30°,且∠ACP=60°,
∴∠PCB=30°.
(2)过P作PQ⊥OA于Q;
Rt△PAQ中,∠PAQ=60°,AP=
;
∴OQ=AQ=
,PQ=
,
所以P(
,
);
将P、A代入抛物线的解析式中,得:
,
解得
;
即y=-
x2+
x+1;
当x=0时,y=1,故C(0,1)在抛物线的图象上.
(3)①若DE是平行四边形的对角线,点C在y轴上,CD平行x轴,
∴过点D作DM∥CE交x轴于M,则四边形EMDC为平行四边形,
把y=1代入抛物线解析式得点D的坐标为(
,1)
把y=0代入抛物线解析式得点E的坐标为(-
,0)
∴M(
,0);N点即为C点,坐标是(0,1);

②若DE是平行四边形的边,
过点A作AN∥DE交y轴于N,四边形DANE是平行四边形,
∴DE=AN=
=
=2,
∵tan∠EAN=
=
,
∴∠EAN=30°,
∵∠DEA=∠EAN,
∴∠DEA=30°,
∴M(
,0),N(0,-1);
同理过点C作CM∥DE交y轴于N,四边形CMDE是平行四边形,
∴M(-
,0),N(0,1).
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根据折叠的性质知:OA=AP=
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∵∠BCA=∠OAC=30°,且∠ACP=60°,
∴∠PCB=30°.
(2)过P作PQ⊥OA于Q;

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∴OQ=AQ=
| ||
2 |
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2 |
所以P(
| ||
2 |
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2 |
将P、A代入抛物线的解析式中,得:
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解得
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即y=-
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当x=0时,y=1,故C(0,1)在抛物线的图象上.
(3)①若DE是平行四边形的对角线,点C在y轴上,CD平行x轴,
∴过点D作DM∥CE交x轴于M,则四边形EMDC为平行四边形,
把y=1代入抛物线解析式得点D的坐标为(
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| ||
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把y=0代入抛物线解析式得点E的坐标为(-
| ||
4 |
∴M(
| ||
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②若DE是平行四边形的边,
过点A作AN∥DE交y轴于N,四边形DANE是平行四边形,
∴DE=AN=
OA2+ON2 |
3+1 |
∵tan∠EAN=
ON |
OA |
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∴∠EAN=30°,
∵∠DEA=∠EAN,
∴∠DEA=30°,
∴M(
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同理过点C作CM∥DE交y轴于N,四边形CMDE是平行四边形,
∴M(-
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