Question

【题目】已知抛物线与 y 轴交于点 C（0，4），与 x 轴交于点 A、B，点 A 的坐标为（4，0）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点 Q 是线段 AB 上的动点，过点 Q 作 QE∥AC，交 BC 于点 E，连接 CQ，当△CQE 的面积最大时，求点 Q的坐标；

（3）当点 Q 从点 B 出发沿着 BA 方向以每秒 2 个单位长向点 A 运动，同时点 P 从点 A 出发沿着 AC 方向以每秒 个单位长度向点 C 运动，其中一个点到达终点，另一个点也停止运动，设 P、Q 运动时间为 t 秒，当 t 为何值？△APQ为等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）秒或秒或2秒．

【解析】

（1）根据抛物线与轴交于点，与轴交于点，用待定系数法求出，的值，即可求出该抛物线的解析式；

（2）设，因为，所以，再利用相似三角形的性质得出，进而可得，然后利用二次函数的性质求出点的坐标；

（3）分别用t的式子表示出的边长，再在中分三种情况①，②，③构建方程求出t值即可．

解：（1）抛物线与轴交于点，与轴交于点，

，

解得：，

抛物线的解析式为：；

（2），

当时，，

解得或，

点的坐标为，

点的坐标为，0，，，

．

设，

，

，

，

，

，

当时，面积最大，

点坐标为．

（3）依题意得：BQ=2t，AP=，

∴AQ=6-2t，

∵OC=OA=4，

∴为等腰直角三角形，

∴∠CAO=45°，

在中分三种情况；

①当时，如图1，

则，解得：，

②当AP=PQ时，如图2，

∵∠CAO=45°，∴∠APQ=90°，

∴，即，解得

③当AQ=PQ时，如图3，

∵∠CAO=45°，

∴∠AQP=90°，

∴，即，解得

综上所述：使得是等腰三角形，则t的值为：秒或秒或2秒.