题目内容
【题目】阅读理（解析）
提出问题：如图1，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
当AP＝
AD时(如图2)：
∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP＝S△ABD，
∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等
∴S△CDP＝S△CDA，
∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA，
＝S四边形ABCD﹣(S四边形ABCD﹣S△DBC)﹣(S四边形ABCD﹣S△ABC)＝S△DBC+S△ABC.
(1)当AP＝
AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式并证明；
(2)当AP＝
AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为： ；
(3)一般地，当AP＝
AD(n表示正整数)时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系为： ；
(4)当AP＝
AD(0≤≤1)时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为： ．
【答案】(1)S△PBC＝
S△DBC+
S△ABC，证明见解析；(2)S△PBC＝
S△DBC+
S△ABC；(3)S△PBC＝
S△DBC+
S△ABC；(4)S△PBC＝
S△DBC+
S△ABC．
【解析】
（1）根据题中的方法进行求解即可；（2）由（1）即可得到；（3）方法同（1），进行求解；（4）利用（3）中的结论即可求解.
(1)∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP＝S△ABD．
又∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP＝S△CDA．
∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP
＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA
＝S四边形ABCD﹣(S四边形ABCD﹣S△DBC)﹣(S四边形ABCD﹣S△ABC)
＝S△DBC+S△ABC．
∴S△PBC＝S△DBC+S△ABC
(2)由(1)得，S△PBC＝S△DBC+S△ABC；
(3)S△PBC＝S△DBC+S△ABC；
∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP＝S△ABD．
又∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP＝S△CDA
∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP
＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA
＝S四边形ABCD﹣(S四边形ABCD﹣S△DBC)﹣(S四边形ABCD﹣S△ABC)
＝S△DBC+S△ABC．
∴S△PBC＝S△DBC+S△ABC
(4)由(3)得，S△PBC＝S△DBC+S△ABC．
