Question

【题目】如图，已知抛物线经过A（1，0）、B（0，3）两点，对称轴是x=﹣1
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OM上运动，同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
②△AON能否为等腰三角形？若能，直接写出t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根据题意，设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+k，

∵点A（1，0），B（0，3）在抛物线上，

∴ ，

解得：a=﹣1，k=4，

∴抛物线的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；

（2）

解：①∵四边形OMPQ为矩形，

∴OM=PQ，即3t=﹣（t+1）2+4，

整理得：t2+5t﹣3=0，

解得t= ，由于t= ＜0，故舍去，

∴当t= 秒时，四边形OMPQ为矩形；

②能，Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3．

若△AON为等腰三角形，有三种情况：

（I）若ON=AN，如答图1所示：

则Q为OA中点，OQ= OA= ，

∴t= ；

（II）若ON=OA，如答图2所示：

设AQ=x，则NQ=AQtanA=3x，OQ=OA﹣AQ=1﹣x，

在Rt△NOQ中，由勾股定理得：OQ2+NQ2=ON2，

即（1﹣x）2+（3x）2=12，解得x1= ，x2=0（舍去），

∴x= ，OQ=1﹣x= ，

∴t= ；

（III）若OA=AN，如答图3所示：

设AQ=x，则NQ=AQtanA=3x，

在Rt△ANQ中，由勾股定理得：NQ2+AQ2=AN2，

即（x）2+（3x）2=12，解得x1= ，x2=﹣ （舍去），

∴OQ=1﹣x=1﹣ ，

∴t=1﹣ ．

当t为 秒、 秒，（1﹣ ）秒时，△AON为等腰三角形．

【解析】（1）利用顶点式、待定系数法求出抛物线的解析式；（2）①当四边形OMPQ为矩形时，满足条件OM=PQ，据此列一元二次方程求解；②△AON为等腰三角形时，可能存在三种情形，需要分类讨论，逐一计算．
【考点精析】掌握等腰三角形的性质是解答本题的根本，需要知道等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．