Question

【题目】如图1，新定义：直线l1、l、l2 ， 相交于点O，长为m的线段AB在直线l2上，点P是直线l1上一点，点Q是直线l上一点．若∠AQB=2∠APB，则我们称点P是点Q的伴侣点；
（1）如图1，直线l2、l的夹角为30°，线段AB在点O右侧，且OA=1，m=2，若要使得∠APB=45°且满足点P是点Q的伴侣点，则OQ=

（2）如图2，若直线l1、l2的夹角为60°，且m=3，若要使得∠APB=30°，线段AB在直线l2上左右移动．
①当OA的长为多少时，符合条件的伴侣点P有且只有一个？请说明理由；
②是否存在符合条件的伴侣点P有三个的情况？若存在，请直接写出OA长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）解：①如图2，

当直线l1与⊙C相切于点P，且A在O的右侧时，

则∠APB=30°．

连接CP，过A作AD⊥l1于D．

则AD=CP=3，

∴OA= =2 ，

如图3，

当直线l1与⊙C相切于点P，且A在O的左侧时，

则∠APB=30°．

连结CP，过B作BE⊥l1于E．

则BE=CP=3，

∴OB= =2 ．

∴OA=2 +3．

综上所述，当A在O的右侧，OA=2 或A在O的左侧，OA=2 +3时，符合条件的点P有且只有一个

②存在，

如图4，

当直线l1与⊙C1相交于点P1、P2，与⊙C2相切于点P3时连结C2P3，

过O作OF⊥BC2于F，则OF=C2P3=3，

∴OB= =2 ，

∴OA=2 ﹣3，

如图5，

当直线l1与⊙C1相切于点P1，与⊙C2相交于点P2、P3时连接C1P1，

过A作AG⊥l1于G

则AG=C1P1=3，

∴OA= =2 ，

综上所述，当A在O的右侧，OA=2 ﹣3或A在O的左侧，OA=2 时，符合条件的点P有三个

【解析】解：（1）如图1，

取线段AB的中点M，过M作MQ⊥l，
∵∠BOQ=30°，OM=OA+ AB=2，OQ= ，
∴MQ=1，
以M点为圆心1为半径的⊙M过点A，B，Q，
∴∠AQB=90°，
∵∠APB=45°，
∴∠AQB=2∠APB=90°，
∴此时的Q满足点P是点Q的伴侣点，OQ= ，
所以答案是 ，