Question

如图，BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，过点D作OA的平行线交⊙O于点C,AC与BD的延长线相交于点E．
①试探究AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
②已知EC=a，ED=b，AB=c，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O的半径r的一种方案；
1) 你选用的已知数是_________；
2) 写出求解过程(结果用字母表示)．

Answer 1

解；①AE与⊙O相切. …………………1分
理由：连接OC. ∵CD∥OA
∴∠AOC=∠OCD，∠ODC=∠AOB. 又∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD.
∴∠AOB=∠AOC. …………………3分
在△AOC和△AOB中，OA=OA，∠AOB=∠AOC，OB=OC.
∴△AOC≌△AOB，…………………5分
∴∠ACO=∠ABO
∵AB与⊙O相切，∴∠ACO=∠ABO=90°
∴AE与⊙O相切. …………………6分
②选择a、b、c，或其中2个.
解：若选择a、b、c，
方法一：由CD∥OA，=，得r=
方法二：在Rt△ABE中，由勾股定理(b+2r)²+c²=(a+c)²，得r=
方法三：由Rt△OCE∽Rt△ABE，=，得r=…………………8分
若选择a、b.
方法一：在Rt△OCE中，由勾股定理：a²+r²=(b+r)²，得r=
方法二：连接BC，由△DCE∽△CBE，得r=
若选择a、c；需综合运用以上多种方法，得r=…………………8分

略