题目内容
如图,直线y=
x+1交y轴于点A,过该直线上一点B作BC⊥x轴,垂足为点C(3,0)抛物线y=ax2+
x+c过A、B两点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)在x轴上是否存在一点D,使AD+BD最短?若存在,请求出点D坐标;若不存在,请说明理由.
(3)点P(t,0)为线段OC上任一点(不与点O、C重合),过点P作PN⊥x轴,交直线AB于点M,交抛物线于点N.
①求MN的最大值;
②连接CM、BN,试求:当t为何值时,四边形BCMN为菱形?
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(1)求抛物线的解析式.
(2)在x轴上是否存在一点D,使AD+BD最短?若存在,请求出点D坐标;若不存在,请说明理由.
(3)点P(t,0)为线段OC上任一点(不与点O、C重合),过点P作PN⊥x轴,交直线AB于点M,交抛物线于点N.
①求MN的最大值;
②连接CM、BN,试求:当t为何值时,四边形BCMN为菱形?
考点:二次函数综合题
专题:压轴题
分析:(1)先令x=0求出y的值即可得出A点坐标,再把C点横坐标代入直线y=
x+1求出y的值即可得出B点坐标,把AB两点坐标代入抛物线即可得出a、c的值,故可得出抛物线的解析式;
(2)作出点A关于x轴的对称点A′,连接A′B,则线段A′B的长即为AD+BD最短,再利用待定系数法求出直线A′B的解析式,故可得出D点坐标;
(3)①先用含t的代数式表示P、M、N的坐标,再根据MN=NP-MP,即可得到线段MN的长与t的函数关系式为MN,然后运用配方法可求出MN的最大值;
②若四边形BCMN为平行四边形,则有MN=BC,故可得出关于t的二元一次方程,解方程求得t的值,再分别分析t取何值时四边形BCMN为菱形即可.
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(2)作出点A关于x轴的对称点A′,连接A′B,则线段A′B的长即为AD+BD最短,再利用待定系数法求出直线A′B的解析式,故可得出D点坐标;
(3)①先用含t的代数式表示P、M、N的坐标,再根据MN=NP-MP,即可得到线段MN的长与t的函数关系式为MN,然后运用配方法可求出MN的最大值;
②若四边形BCMN为平行四边形,则有MN=BC,故可得出关于t的二元一次方程,解方程求得t的值,再分别分析t取何值时四边形BCMN为菱形即可.
解答:解:(1)∵令x=0,则y=1,
∴A(0,1),
∵BC⊥x轴,C(3,0),
∴当x=3时,y=
×3+1=
,
∴B(3,
),
∵AB两点均在抛物线y=ax2+
x+c上,
∴
,解得
,
∴抛物线的解析式为:y=-
x2+
x+1;
(2)作出点A关于x轴的对称点A′,连接A′B,则线段A′B的长即为AD+BD最短,
∵A(0,1),B(3,
),
∴A′(0,-1),
设直线A′B的解析式为y=kx+b(k≠0),
∴
,解得
,
∴直线A′B的解析式y=
x-1;
∴当y=0时,
x-1=0,解得x=
,
∴D(
,0);
(3)①∵P(t,0),
∴M(t,
t+1),N(t,-
t2+
t+1),
∴MN=NP-MP=(-
t2+
t+1)-(
t+1)=-
t2+
t,即线段MN的长与t的函数关系式为MN=-
t2+
t(0≤t≤3);
∵-
t2+
t=
(t2-3t)=-
(t-
)2+
,
∴当t=
时,MN的长最大,最大值是
;
②∵若四边形BCMN为平行四边形,
∴MN=BC,即-
t2+
t=
,解得t1=1,t2=2,
∴当t=1或2时,四边形BCMN为平行四边形;
当t=1时,MN=-
×12+
×1=
,MP=
×1+1=
,PC=3-1=2,
在Rt△MPC中,MC=
=
=
,
∴MN=MC,此时平行四边形BCMN为菱形;
当t=2时,MN=-
×22+
×2=
,MP=
×2+1=2,PC=3-2=1,
在Rt△MPC中,MC=
=
=
∴MN≠MC,此时平行四边形BCMN不是菱形.
∴当t=1时,四边形BCMN为菱形.
∴A(0,1),
∵BC⊥x轴,C(3,0),
∴当x=3时,y=
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∴B(3,
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∵AB两点均在抛物线y=ax2+
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∴抛物线的解析式为:y=-
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(2)作出点A关于x轴的对称点A′,连接A′B,则线段A′B的长即为AD+BD最短,
∵A(0,1),B(3,
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∴A′(0,-1),
设直线A′B的解析式为y=kx+b(k≠0),
∴
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∴直线A′B的解析式y=
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∴当y=0时,
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∴D(
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(3)①∵P(t,0),
∴M(t,
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∴MN=NP-MP=(-
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∵-
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∴当t=
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②∵若四边形BCMN为平行四边形,
∴MN=BC,即-
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∴当t=1或2时,四边形BCMN为平行四边形;
当t=1时,MN=-
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在Rt△MPC中,MC=
MP2+PC2 |
(
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∴MN=MC,此时平行四边形BCMN为菱形;
当t=2时,MN=-
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在Rt△MPC中,MC=
MP2+PC2 |
22+12 |
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∴MN≠MC,此时平行四边形BCMN不是菱形.
∴当t=1时,四边形BCMN为菱形.
点评:本题考查了的是二次函数综合题,涉及到待定系数法求二次函数的解析式,线段的长与函数关系式之间的关系,二次函数的性质,平行四边形以及菱形的性质与判定,勾股定理等知识,综合性较强,难度较大,解题的关键是数形结合思想与方程思想的应用.
练习册系列答案
相关题目
实数3、3.14、
、
、
、-
中,有理数的个数为( )
2 |
3 | -27 |
13 |
8 |
π |
3 |
A、2 | B、3 | C、4 | D、5 |
如图,已知E、F分别为正方形ABCD的边AB,BC的中点,AF与DE交于点M,O为BD的中点,则下列结论:①∠AME=90°;②∠BAF=∠EDB;③∠BMO=90°;④MD=2AM=4EM;⑤AM=
MF.其中正确结论的个数是( )
2 |
3 |
A、5个 | B、4个 | C、3个 | D、2个 |
直角三角形的三边长是连续偶数,则三边长分别是( )
A、2,4,6 |
B、4,6,8 |
C、6,8,10 |
D、8,10,12 |