题目内容
【题目】小明拿两个大小不等直角三角板作拼图，如图①小三角板的斜边与大三角板直角边正好重合，已知： AD=1，∠B=∠ ACD=30°，
（1）A B的长=__________；四边形ABCD的面积=___________（直接填空）；
（2）如图②,若小明将小三角板ACD沿着射线AB方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点A沿AB方向所经过的线段长度）．当点D平移到线段大三角板ABC的边上时，直接写出相应的m的值．
（3）如图③，小明将小三角板ACD绕点A逆时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ACD为△AC′D′，在旋转过程中，设C′D′所在的直线与直线BC交于点P，与直线AB交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△BPQ为等腰三角形？若存在，请直接求出此时D’Q的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）AB=4，面积为
；（2）1或3；（3）2-
； 
； 
+2.
【解析】试题分析：（1）根据30度的直角三角形的性质，求出AC、CD、AB、BC即可解决问题；
（2）如图2中，作DE∥AB交BC于E，交AC于F．求出DF、DE即可解决问题；
（3）分三种情形求解①如图3中，当BP=BQ时，②如图4中，当BQ=PQ时，③如图5中，当BP=BQ时，分别求解即可；
试题解析：（1）如图1中，
在Rt△ACD中，∵AD=1，∠ACD=30°，
∴AC=2CD=2，CD=
AD=
，
在Rt△ACB中，∵∠B=30°，AC=2，
∴AB=2AC=4，BC=
AC=2
，
∴四边形ABCD的面积=S△ACD+S△ABC=
×1×
+
×2×2
=
．
（2）如图2中，作DE∥AB交BC于E，交AC于F．
∴∠DFA=∠BAC=60°=∠DAF，
∴△ADF是等边三角形，
∴AF=AD=DF=CF=1，∵FE∥AB，
∴CE=EB，
∴EF=
AB=2，
∴当点D平移到线段大三角板ABC的边上时，相应的m的值为1或3．
（3）①如图3中，当BP=BQ时，在AD′上取一点E使得AE=EQ．
∵∠PBQ=30°，
∴∠AQD′=75°，∵∠AD′Q=90°，
∴∠EAQ=∠EQA=15°
∴∠QED′=30°，设D′Q=x，则AE=EQ=2x，ED′=
x，
∴2x+
x=1，
∴x=2-
，
∴D′Q=2-
．
②如图4中，当BQ=PQ时，易知∠AQD′=60°，D′Q=ADtan30°=
．
③如图5中，当BP=BQ时，易知∠AQC′=∠C′AQ=15°，∴C′=C′Q，∴D′Q=D′C+C′Q′=
．
综上所述，当△PBQ是等腰三角形时，D′Q的值为2-
或
或
．
