Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．
（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；
（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C，

在△ABM和△BCP中，

，

∴△ABM≌△BCP（SAS），

∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，

∵∠BAM+∠AMB=90°，

∴∠CBP+∠AMB=90°，

∴AM⊥BP，

∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，

∴AM⊥MN，且AM=MN，

∴MN∥BP，

∴四边形BMNP是平行四边形

（2）解：BM=MC．

理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，

∴∠BAM=∠CMQ，

又∵∠ABC=∠C=90°，

∴△ABM∽△MCQ，

∴ ，

∵△MCQ∽△AMQ，

∴△AMQ∽△ABM，

∴ = ，

∴ = ，

∴BM=MC．

【解析】（1）根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠C，然后利用“边角边”证明△ABM和△BCP全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=BP，∠BAM=∠CBP，再求出AM⊥BP，从而得到MN∥BP，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）根据同角的余角相等求出∠BAM=∠CMQ，然后求出△ABM和△MCQ相似，根据相似三角形对应边成比例可得 = ，再求出△AMQ∽△ABM，根据相似三角形对应边成比例可得 = ，从而得到 = ，即可得解．