Question

【题目】如图，OABC是平行四边形，对角线OB在轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y= 和y= 的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：
① = ；
②阴影部分面积是 （k1+k2）；
③当∠AOC=90°时，|k1|=|k2|；
④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．

其中正确的结论是（把所有正确的结论的序号都填上）．

Answer 1

【答案】①④
【解析】解：作AE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F，如图，

∵四边形OABC是平行四边形，
∴S△AOB=S△COB ，
∴AE=CF，
∴OM=ON，
∵S△AOM= |k1|= OMAM，S△CON= |k2|= ONCN，
∴ = ，故①正确；
∵S△AOM= |k1|，S△CON= |k2|，
∴S阴影部分=S△AOM+S△CON= （|k1|+|k2|），
而k1＞0，k2＜0，
∴S阴影部分= （k1﹣k2），故②错误；
当∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形，
∴不能确定OA与OC相等，
而OM=ON，
∴不能判断△AOM≌△CNO，
∴不能判断AM=CN，
∴不能确定|k1|=|k2|，故③错误；
若OABC是菱形，则OA=OC，
而OM=ON，
∴Rt△AOM≌Rt△CNO，
∴AM=CN，
∴|k1|=|k2|，
∴k1=﹣k2 ，
∴两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称，故④正确．
故答案为：①④．
作AE⊥y轴于点E，CF⊥y轴于点F，根据平行四边形的性质得S△AOB=S△COB ， 利用三角形面积公式得到AE=CF，则有OM=ON，再利用反比例函数k的几何意义和三角形面积公式得到S△AOM= |k1|= OMAM，S△CON= |k2|= ONCN，所以有 = ；由S△AOM= |k1|，S△CON= |k2|，得到S阴影部分=S△AOM+S△CON= （|k1|+|k2|）= （k1﹣k2）；当∠AOC=90°，得到四边形OABC是矩形，由于不能确定OA与OC相等，则不能判断△AOM≌△CNO，所以不能判断AM=CN，则不能确定|k1|=|k2|；若OABC是菱形，根据菱形的性质得OA=OC，可判断Rt△AOM≌Rt△CNO，则AM=CN，所以|k1|=|k2|，即k1=﹣k2 ， 根据反比例函数的性质得两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．