题目内容
【题目】如图，正方形ABCD是一次函数y＝x+1图象的其中一个伴侣正方形．
（1）若某函数是一次函数y＝x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；
（2）若某函数是反比例函数
，它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式；
（3）若某函数是二次函数y＝ax2+c（a≠0），它的图象的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标，写出符合题意的其中一条抛物线解析式，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？．（本小题只需直接写出答案）
【答案】（1）正方形边长为
；（2）m＝1，y＝
；（3）D坐标为（﹣1，3）；y＝
x2+ 
；所求的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数．
【解析】
此题较为新颖，特别要注意审题和分析题意，耐心把题读完，知A、B为坐标轴上两点，C、D为函数图象上的两点：（1）先正确地画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长，注意思维的严密性．
（2）因为ABCD为正方形，所以可作垂线得到等腰直角三角形，利用点D（2，m）的坐标表示出点C的坐标从而求解．
（3）注意思维的严密性，抛物线开口既可能向上，也可能向下．当抛物线开口向上时，正方形的另一个顶点也是在抛物线上，这个点既可能在点（3，4）的左边，也可能在点（3，4）的右边，过点（3，4）向x轴作垂线，利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标；当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论．
（1）∵正方形ABCD是一次函数y＝x+1图象的其中一个伴侣正方形．
当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时，
∴AO＝1，BO＝1，
∴正方形ABCD的边长为
当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，设正方形ABCD的边长为a，得3a＝
∴a=
,所以正方形边长为 ；
（2）作DE、CF分别垂直于x、y轴，
知△ADE≌△BAO≌△CBF，此时，m＜2，DE＝OA＝BF＝m，OB＝CF＝AE＝2﹣m
∴OF＝BF+OB＝2
∴C点坐标为（2﹣m，2）
∴2m＝2（2﹣m）
解得m＝1，
∴反比例函数的解析式为y＝ ；
（3）根据题意画出图形，如图所示：
过C作CF⊥x轴，垂足为F，过D作DE⊥CF，垂足为E，
∴△CED≌△DGB≌△AOB≌△AFC，
∵C（3，4），即CF＝4，OF＝3，
∴EG＝3，DE＝4，故DG＝DE﹣GE＝DE﹣OF＝4﹣3＝1，则D坐标为（﹣1，3）；设过D与C的抛物线的解析式为：y＝ax2+b，
把D和C的坐标代入得：
，
解得
，
∴满足题意的抛物线的解析式为y＝x2+；
同理可得D的坐标可以为：（7，﹣3）；（﹣4，7）；（4，1），对应的抛物线分别为y=
x2+
；y=
x2+
；y=x2+
，所求的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数．
