题目内容
【题目】△ABC中,BC=12,高AD=8,矩形EFGH的一边GH在BC上,顶点E、F分别在AB、AC上,AD与EF交于点M.
(1)求证:;
(2)设EF=x,EH=y,写出y与x之间的函数表达式;
(3)设矩形EFGH的面积为S,求S与x之间的函数表达式,并写出S的最大值.
【答案】(1)见解析;(2)y=8﹣x(0<x<12);(3)S矩形EFGH=﹣(x﹣6)2+24,Smax=24.
【解析】
(1)先判断出AM是△AEF的高,再判断出△AEF∽△ABC,即可得出结论;(2)先判断出四边形EMDG是矩形,得出DM=EH,进而表示出AM=8﹣y,借助(1)的结论即可得出结论;(3)由矩形的面积公式得出函数关系式,即可得出结论.
解:(1)∵四边形EFGH是矩形,
∴EF∥BC,
∵AD是△ABC的高,
∴AD⊥BC,
∴AM⊥EF,
∵EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
∴(相似三角形的对应边上高的比等于相似比);
(2)∵四边形EFGH是矩形,
∴∠FEH=∠EHG=90°,
∵AD⊥BC,
∴∠HDM=90°=∠FEH=∠EHG,
∴四边形EMDH是矩形,
∴DM=EH,
∵EF=x,EH=y,AD=8,
∴AM=AD﹣DM=AD﹣EH=8﹣y,
由(1)知,,
∴ ,
∴y=8﹣x(0<x<12);
(3)由(2)知,y=8﹣x,
∴S=S矩形EFGH=xy=x(8﹣x)=﹣(x﹣6)2+24,
∵a=﹣<0,
∴当x=6时,Smax=24.