Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，连接BD，将△ABD绕B点作顺时针方向旋转得到△A′B′D′（B′与B重合），且点D′刚好落在BC的延长上，A′D′与CD相交于点E．

（1）求矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分（如图1中阴影部分A′B′CE）的面积；

（2）将△A′B′D′以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；

（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得△AA′B′成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有：0秒、 秒、 ．

【解析】

（1）根据旋转的性质可知B′D′＝BD＝10，CD′＝B′D′﹣BC＝2，由tan∠B′D′A′＝可求出CE，即可计算△CED′的面积，SABCE＝SABD′﹣SCED′；

（2）分类讨论，当0≤x≤时和当＜x≤4时，分别列出函数表达式；

（3）分类讨论，当AB′＝A′B′时；当AA′＝A′B′时；当AB′＝AA′时，根据勾股定理列方程即可．

解：（1）∵AB＝6cm，AD＝8cm，

∴BD＝10cm，

根据旋转的性质可知B′D′＝BD＝10cm，CD′＝B′D′﹣BC＝2cm，

∵tan∠B′D′A′＝

∴

∴CE＝cm，

∴S ABCE＝SABD′﹣SCED′＝（cm2）；

（2）①当0≤x＜时，CD′＝2x+2，CE＝（x+1），

∴S△CD′E＝x2+3x+，

∴y＝×6×8﹣x2﹣3x﹣＝﹣x2﹣3x+；

②当≤x≤4时，B′C＝8﹣2x，CE＝（8﹣2x）

∴＝x2﹣x+．

（3）①如图1，当AB′＝A′B′时，x＝0秒；

②如图2，当AA′＝A′B′时，A′N＝BM＝BB′+B′M＝2x+，A′M＝NB＝，

∵AN2+A′N2＝36，

∴（6﹣）2+（2x+）2＝36，

解得：x＝，x＝（舍去）；

③如图2，当AB′＝AA′时，A′N＝BM＝BB′+B′M＝2x+，A′M＝NB＝，

∵AB2+BB′2＝AN2+A′N2

∴36+4x2＝（6﹣）2+（2x+）2

解得：x＝．

综上所述，使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有：0秒、秒、．