Question

下列说法
①如图，扇形的圆心角，点是上异于的动点，过点作于，作于,连接，点在线段上，且，连接。当点在上运动时，在中，长度不变的是；
   
②如图，正方形纸片的边长为，⊙的半径为，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，折叠后点于点重合，且切⊙于点，延长交边于点,则的长为；
③已知中，，则其内心和外心之间的距离是。其中正确的有     （请写序号，少选，错选均不得分）

Answer 1

①②

①解：连接OC，如图1，

∵扇形OAB的圆心角∠AOB=90°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
∴∠AOE=∠CEO=∠CDO=90°，
∴四边形EODC是矩形，
∴OC=DE，
∵DG=DE，
∴DG=OC=DE，
∴当点C在上运动时，在CD、CG、DG中，长度不变的是DG，故该选项正确；
②解：连AC，过F作FM⊥DC于M，如图2．

∵△AEF沿EF折叠得到△HEF，
∴∠EHF=∠EAF=90°，FH=FA，
∵EH恰好与⊙0相切于点H，
∴OH⊥EH，
∴点F、H、O共线，即FG过圆心O，
又∵点O为正方形的中心，
∴AC经过点O，
∴OA=OC，
在△OAF和△OCG中，
，
∴△OAF≌△OCG，
∴OF=OG，AF=CG，
∵OA′=ON，
∴FA′=GN，
设FA=x，DC=8，ON=2，则FH=DM=CG=GN=x，FG=FM+HN+NG=2x+4，MG=DC-DM-CG=8-2x，
在Rt△FGH中，FG²=FM²+MG²，
∴（2x+4）²=8²+（8-2x）²，解得x=，
HG=HN+NG=4+=，故该选项正确；
③解：如图3，在Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，

∴AB=5cm，
∴AM为外接圆半径，
∴AM=1/2AB=2.5cm
设Rt△ABC的内切圆的半径为r，则OD=OE=r，∠C=90°，
∵四边形OECD是正方形，
∴CE=CD=r，AE=AN=3-r，BD=BN=4-r，
即4-r+3-r=5，
解得r=1cm，
∴AN=2cm；
在Rt△OMN中，
MN=AM-AN=-2=cm，∴OM=
∴内心和外心之间的距离是cm，故该选项错误；
故答案为：①②．