题目内容
【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．
【答案】
（1）
解：由题意可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），则
，
解得 
．
故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3
（2）
解：依题意：设M点坐标为（0，t），
①当MA=MB时：
解得t=0，
故M（0，0）；
②当AB=AM时：
解得t=3（舍去）或t=﹣3，
故M（0，﹣3）；
③当AB=BM时，
解得t=3±3 
，
故M（0，3+3 ）或M（0，3﹣3 ）．
所以点M的坐标为：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3 ）、（0，3﹣3 ）
（3）
解：平移后的三角形记为△PEF．
设直线AB的解析式为y=kx+b，则
，
解得 
．
则直线AB的解析式为y=﹣x+3．
△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到△PEF，
易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．
设直线AC的解析式为y=k′x+b′，则
，
解得 
．
则直线AC的解析式为y=﹣2x+6．
连结BE，直线BE交AC于G，则G（ 
，3）．
在△AOB沿x轴向右平移的过程中．
①当0＜m≤ 时，如图1所示．
设PE交AB于K，EF交AC于M．
则BE=EK=m，PK=PA=3﹣m，
联立 
，
解得 
，
即点M（3﹣m，2m）．
故S=S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM
= 
PE2﹣ PK2﹣ AFh
= 
﹣ （3﹣m）2﹣ m2m
=﹣ m2+3m．
②当 ＜m＜3时，如图2所示．
设PE交AB于K，交AC于H．
因为BE=m，所以PK=PA=3﹣m，
又因为直线AC的解析式为y=﹣2x+6，
所以当x=m时，得y=6﹣2m，
所以点H（m，6﹣2m）．
故S=S△PAH﹣S△PAK
= PAPH﹣ PA2
=﹣ （3﹣m）（6﹣2m）﹣ （3﹣m）2
= m2﹣3m+ 
．
综上所述，当0＜m≤ 时，S=﹣ m2+3m；当 ＜m＜3时，S= m2﹣3m+ ．
【解析】（1）根据对称轴可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），根据待定系数法可得抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）分三种情况：①当MA=MB时；②当AB=AM时；③当AB=BM时；三种情况讨论可得点M的坐标．（3）平移后的三角形记为△PEF．根据待定系数法可得直线AB的解析式为y=﹣x+3．易得AB平移m个单位所得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．根据待定系数法可得直线AC的解析式．连结BE，直线BE交AC于G，则G（ ，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中．根据图象，易知重叠部分面积有两种情况：①当0＜m≤ 时；②当 ＜m＜3时；讨论可得用m的代数式表示S．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的性质(增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小)．
