Question

【题目】如图，半圆O的直径AB=4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在AQ（弧）上且不与A点重合，但Q点可与B点重合.

发现.AP（弧）的长与QB（弧）的长之和为定值l，求l；

思考.点M与AB的最大距离为_______，此时点P，A间的距离为_______；点M与AB的最小距离为________，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为________.

探究.当半圆M与AB相切于T时，求AT的长.

Answer 1

【答案】发现： ；思考： ；探究：AT＝

【解析】试题分析：发现:半圆O的长度是固定不变的，由于PQ也是定值，所以的长度也是固定值，所以与的长之和为定值；

思考:过点M作MC⊥AB于点C，当C与O重合时，M与AB的距离最大，此时，∠AOP=60°，AP=2；当Q与B重合时，M与AB的距离最小，此时围成的封闭图形面积可以用扇形DMB的面积减去△DMB的面积即可；

探究:分两种情况讨论，当半圆M与AO相切于点T时和半圆M与BO相切于点T时求得.

试题解析：

发现：如图1，连接OP、OQ，

∵AB=4，

∴OP=OQ=2，

∵PQ=2，

∴△OPQ是等边三角形，

∴∠POQ=60°，

∴==，

又∵半圆O的长为：π×4=2π，

∴+=2π﹣π=，

∴l=π；

思考：如图2，过点M作MC⊥AB于点C，

连接OM，

∵OP=2，PM=1，

∴由勾股定理可知：OM=，

当C与O重合时，

M与AB的距离最大，最大值为，

连接AP，

此时，OM⊥AB，

∴∠AOP=60°，

∵OA=OP，

∴△AOP是等边三角形，

∴AP=2，

如图3，当Q与B重合时，

连接DM，

∵∠MOQ=30°，

∴MC=OM=，

此时，M与AB的距离最小，最小值为，

设此时半圆M与AB交于点D，

DM=MB=1，

∵∠ABP=60°，

∴△DMB是等边三角形，

∴∠DMB=60°，

∴扇形DMB的面积为： =，

△DMB的面积为： MCDB=××1=，

∴半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为：﹣；

探究：

半圆M与AB相切，分两种情况：

①如图：

半圆M与AO相切于点T时，连接PO、MO、TM，则MT AO，OMPQ.

在Rt△TOM中，TO＝

AT＝2－.

②如图：

半圆M与BO相切于点T时，连接QO、MO、TM，

由对称性，同理得AT＝2－.