Question

(本题10分)
如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．

（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）求证：FD=FG；
（3）若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积．

Answer 1

（1）证明：是直径，°即
∠MAC=∠ABC，°，即
所以MN是半圆的切线；
(2) ∵D是弧AC的中点，∴∠DBC=∠2
∵AB是直径，∴∠CBG+∠CGB=90º
∵DE⊥AB，∴∠FDG+∠2=90º
∵∠DBC=∠2，∴∠FDG=∠CGB=∠FGD
∴FD=F∵∠ADB=90º，DE⊥AB，∴∠3=∠2
∵∠1=∠2，∴∠1=∠3
∴AF=DF=FG
（3）∵∠ADG=∠BCG，∠DGA=∠CGB
∴△ADG∽△BCG
∴
∴S△BCG=

此题考查切线的判定、圆的有关知识、三角形的面积。