Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4,﹣）,且与y轴交于点C（0,2）,与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边）．
（1）求抛物线的解析式及A,B两点的坐标；
（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P,使AP+CP的值最小？若存在,求AP+CP的最小值,若不存在,请说明理由；

Answer 1

（1）抛物线的解析式为：y=x²﹣x+2 ,A（2,0）,B（6,0）；
（2）存在一点P,使AP+CP的值最小,AP+CP的最小值为.

解析试题分析：（1）根据知抛物线的顶点坐标,设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）²﹣,再根据抛物线经过（0,2）求出抛物线解析式,进而求出A,B两点的坐标；
（2）线段BC的长即为AP+CP的最小值.
试题解析：（1）由题意,设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）²﹣（a≠0）
∵抛物线经过（0,2）
∴a（0﹣4）²﹣ =2
解得：a= 
∴y=（x﹣4）²﹣
即抛物线的解析式为：y=x²﹣x+2
当y=0时,x²﹣x+2=0
解得：x=2或x=6
∴A（2,0）,B（6,0）； 
（2）存在,
由（1）知：抛物线的对称轴l为x=4,
因为A、B两点关于l对称,连接CB交l于点P,则AP=BP,
所以AP+CP=BC的值最小
∵B（6,0）,C（0,2）
∴OB=6,OC=2
∴BC=,
∴AP+CP=BC=
∴AP+CP的最小值为.
考点：二次函数相关．