Question

【题目】如图，是的直径，点是上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为点，直线与的延长线相交于点．弦平分，交直径于点，连接．

（1）求证：平分；

（2）探究线段，之间的大小关系，并加以证明；

（3）若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）

【解析】

（1）连接OC，根据切线的性质可得OC⊥CD，则AD∥OC，根据等边对等角，以及平行线的性质即可证得；

（2）根据圆周角定理以及三角形的外角的性质定理证明∠PFC=∠PCF，根据等角对等边即可证得；

（3）证明△PCB∽△PAC，根据相似三角形的性质求得PB与PC的比值，在直角△POC中利用勾股定理即可列方程求解．

解：（1）连接OC．

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA．

∵PC是⊙O的切线，AD⊥CD，

∴∠OCP=∠D=90°，

∴OC∥AD．

∴∠CAD=∠OCA=∠OAC．即AC平分∠DAB．

（2）PC=PF．

证明：∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠PCB+∠ACD=90°

又∵∠CAD+∠ACD=90°，

∴∠CAB=∠CAD=∠PCB．

又∵∠ACE=∠BCE，∠PFC=∠CAB+∠ACE，∠PCF=∠PCB+∠BCE．

∴∠PFC=∠PCF．

∴PC=PF．

（3）连接AE．

∵∠ACE=∠BCE，

∴，

∴AE=BE．

又∵AB是直径，

∴∠AEB=90°．

AB= BE＝10，

∴OB=OC=5．

∵∠PCB=∠PAC，∠P=∠P，

∴△PCB∽△PAC．

∴．

∵tan∠PCB=tan∠CAB=．

∴．

设PB=3x，则PC=4x，在Rt△POC中，（3x+5）2=（4x）2+52，

解得x1=0，x2＝．

∵x＞0，∴x＝，

∴PF=PC=．