Question

在正方形ABCD中，已知点E、F分别在边AD、DC的延长线上，且DE=CF，连接BE、AF相交于点P，（如图1）
（1）试说明：AF=BE；
（2）求∠BPF的度数；
（3）若将正方形ABCD变为等腰梯形ABCD，且AD∥BC，AB=AD=DC，∠BCD=50°，其它条件不变（如图2），求∠BPF的度数．

Answer 1

解：（1）在正方形ABCD中，∠BAE=∠ADF，AB=AD=DC，
又DE=CF，所以AE=DF，故△ABE≌△DAF．所以AF=BE．

（2）由（1）知，∠ABE=∠DAF，
∴∠BPF=∠ABE+∠BAF=∠DAF+∠BAF=90°．

（3）∵AB=AD，AE=DF，∠BAE=∠ADF，
∴△BAE≌△ADF，∴∠ABE=∠DAF，
又∵∠BPF=∠ABE+∠BAP，
∴∠BPF=∠DAF+∠BAP=∠BAE=180°-50°=130°．
分析：（1）根据全等三角形的判定定理可解．
（2）由三角形外角定理得，∠BPF=∠ABE+∠BAP，又有∠ABE=∠DAF，即可求得∠BPF的度数．
（3）解题思路与（2）相同．
点评：本题难度较大，综合了全等三角形的判定定理，等腰梯形以及三角形外角的有关知识．