Question

已知关于x的方程x²-（m+5）x+3（m+2）=0．
（1）求证：无论m取何实数值，方程总有两个实数根；
（2）如果Rt△ABC的斜边长为5，两条直角边长恰好是这个方程的两个根．求△ABC的面积．

Answer 1

（1）证明：∵△=（m+5）²-12（m+2）（1分）
=m²+10m+25-12m-24=m²-2m+1=（m-1）²≥0，（1分）
∴此方程总有两个实数根．（1分）

（2）设Rt△ABC的两条直角边分别为a、b．
根据题意，得

a+b=m+5 ab=3(m+2) a2+b2=52

（1分）
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=（m+5）²-6（m+2）=m²+4m+13=25．
∴m²+4m-12=0．（1分）
解得m₁=2，m₂=-6（不符合题意，舍去）．（1分）
∴ab=12．（1分）
∴S_△ABC=

1

2

ab=6．（1分）