Question

【题目】如图，AD是⊙O的弦，AC是⊙O直径，⊙O的切线BD交AC的延长线于点B，切点为D，∠DAC=30°．

（1）求证：△ADB是等腰三角形；

（2）若BC= ，则AD的长为 ．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）3

【解析】

试题（1）连接OD，由OA=OD，∠DAC=30°， 从而可得 ∠DOC =60°，再由BD是⊙O的切线，可得∠ODB=90°，从而可得∠B=30°，问题得证；

（2）连接CD，由AC是直径得∠ADC=90°，从而可得∠ACD=60°，再根据三角形的外角以及∠B=30°从而可得CD=CB=，再利用勾股定理即可得解.

试题解析：（1）连接OD，∵∠DAC=30°， ∴∠ADO=∠DAC =30°， ∠DOC =60°，

∵BD是⊙O的切线，∴OD⊥BD，即∠ODB=90°，∴∠B=30°，

∴∠DAC=∠B ∴DA=DB， 即△ADB是等腰三角形；

（2）连接CD，∵AC是直径，∴∠ADC=90°，∵∠A=30°，∴∠ACD=60°，∵∠ACD=∠B+∠BDC，∵∠B=30°，∴∠BDC=30°=∠B，∴CD=CB=，∴AC=2CD=2，

∴AD==3.