Question

【题目】如图，菱形中，，过点作交对角线于点，连接，取的中点，连接.

（1）请你根据题意补全图形；

（2）若，则菱形的面积为 .（直接写出答案）

（3）请用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明.

Answer 1

【答案】（1）画图见解析；（2）50；（3），证明见解析.

【解析】

（1）根据已知条件画图即可；（2）根据菱形的面积计算公式计算即可.

（3）取AE中点G，连接GF、GD，证明△DGF是直角三角形，在Rt△DGF中，利用GD2+GF2=DF2，可推导出DF、AE、BC之间的数量关系．

（1）如图1：

（2）50.理由如下：

设菱形AD边上的高为h，则h=ABsin60°=10×=5.

∴菱形的面积=10×5=50.

（3）DF、BC、AE之间的数量关系是：AE2+BC2=4DF2．
证明：取AE中点G，连接GF、GD．

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴∠1=∠2=∠BAD=30°，AB=BC．
∵点F是BE的中点，
∴GF是△ABE的中位线．
∴GF=AB，GF∥AB．
∴∠3=∠1=30°．
∵ED⊥AD于D，
∴在Rt△ADE中，DG=AG=AE．
∴∠2=∠4=30°．
∴∠5=60°．
∴∠FGD=∠3+∠5=90°．
∴在Rt△DGF中，GD2+GF2=DF2．
∴（AE）2+（BC）2=DF2．
即AE2+BC2=4DF2．