Question

阅读下列材料：
我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x-0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；
这个结论可以推广为|x₁-x₂|表示在数轴上数x₁，x₂对应点之间的距离；
在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：
例1：解方程|x|=2，容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的x=±2；
例2：解不等式|x-1|＞2，如图，在数轴上找出|x-1|=2的解，即到1的距离为2的点对应的数为-1，3，
则|x-1|＞2的解为x＜-1或x＞3；
例3：解方程|x-1|+|x+2|=5，由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和-2的距离之和为5的点对应的x的值，在数轴上，1和-2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或-2的左边，若x对应点在1的右边，如图可以看出x=2；同理，若x对应点在-2的左边，可得x=-3，故原方程的解是x=2或x=-3。
参考阅读材料，解答下列问题：

（1）方程|x+3|=4的解为____；
（2）解不等式|x-3|+|x+4|≥9；
（3）若|x-3|-|x+4|≤a对任意的x都成立，求a的取值范围。

Answer 1

解：（1）1或-7；
（2）∵3和-4的距离为7，
因此，满足不等式的解对应的点3与-4的两侧，
当x在3的右边时，如图，

易知x≥4，
当x在-4的左边时，如上图，
易知x≤-5，
∴原不等式的解为x≥4或x≤-5；
（3）原问题转化为：a大于或等于|x-3|-|x+4|最大值，
当x≥-1时，|x-3|-|x+4|≤0，
当-4＜x＜-1，|x-3|-|x+4|=-2x-1随x的增大而减小，
当x≤-4时，|x-3|-|x+4|=7，即|x-3|-|x+4|的最大值为7，
故a≥7。