题目内容
(2012•郴州)阅读下列材料:
我们知道,一次函数y=kx+b的图象是一条直线,而y=kx+b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式:Ax+Bx+C=0(A、B、C是常数,且A、B不同时为0).如图1,点P(m,n)到直线l:Ax+By+C=0的距离(d)计算公式是:d=
.
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201207/15/e44c32ce.png)
例:求点P(1,2)到直线y=
x-
的距离d时,先将y=
x-
化为5x-12y-2=0,再由上述距离公式求得d=
=
.
解答下列问题:
如图2,已知直线y=-
x-4与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=x2-4x+5上的一点M(3,2).
(1)求点M到直线AB的距离.
(2)抛物线上是否存在点P,使得△PAB的面积最小?若存在,求出点P的坐标及△PAB面积的最小值;若不存在,请说明理由.
我们知道,一次函数y=kx+b的图象是一条直线,而y=kx+b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式:Ax+Bx+C=0(A、B、C是常数,且A、B不同时为0).如图1,点P(m,n)到直线l:Ax+By+C=0的距离(d)计算公式是:d=
|A×m+B×n+C| | ||
|
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201207/15/e44c32ce.png)
例:求点P(1,2)到直线y=
5 |
12 |
1 |
6 |
5 |
12 |
1 |
6 |
|5×1+(-12)×2+(-2)| | ||
|
21 |
13 |
解答下列问题:
如图2,已知直线y=-
4 |
3 |
(1)求点M到直线AB的距离.
(2)抛物线上是否存在点P,使得△PAB的面积最小?若存在,求出点P的坐标及△PAB面积的最小值;若不存在,请说明理由.
分析:(1)将直线AB的解析式y=-
x-4转化为直线的另一种表达方式4x+3y+12=0,由阅读材料中提供的点到直线的距离公式,即可求出M点到直线AB的距离;
(2)假设抛物线上存在点P,使得△PAB的面积最小,设P坐标为(a,a2-4a+5),然后利用点到直线的距离公式表示出P点到直线AB的距离d,由二次函数y=3a2-8a+27中根的判别式小于0,得到此二次函数与x轴没有交点且开口向上,得到函数值恒大于0,根据正数的绝对值等于它本身进行化简,然后根据二次函数求最值的方法求出y=3a2-8a+27的最小值,以及此时a的值,进而确定出d的最小值以及此时P的坐标,再由直线AB的解析式,令x=0和y=0求出对应的y与x的值,确定出OA与OB的长,在直角三角形AOB中,利用勾股定理求出AB的长,由底AB乘以高d的最小值除以2,即可得出△PAB面积的最小值.
4 |
3 |
(2)假设抛物线上存在点P,使得△PAB的面积最小,设P坐标为(a,a2-4a+5),然后利用点到直线的距离公式表示出P点到直线AB的距离d,由二次函数y=3a2-8a+27中根的判别式小于0,得到此二次函数与x轴没有交点且开口向上,得到函数值恒大于0,根据正数的绝对值等于它本身进行化简,然后根据二次函数求最值的方法求出y=3a2-8a+27的最小值,以及此时a的值,进而确定出d的最小值以及此时P的坐标,再由直线AB的解析式,令x=0和y=0求出对应的y与x的值,确定出OA与OB的长,在直角三角形AOB中,利用勾股定理求出AB的长,由底AB乘以高d的最小值除以2,即可得出△PAB面积的最小值.
解答:解:(1)将直线AB变为:4x+3y+12=0,
又M(3,2),
则点M到直线AB的距离d=
=6;
(2)假设抛物线上存在点P,使得△PAB的面积最小,设P坐标为(a,a2-4a+5),
∵y=3a2-8a+27中,△=64-12×27=-260<0,
∴y=3a2-8a+27中函数值恒大于0,
∴点M到直线AB的距离d=
=
,
又函数y=3a2-8a+27,当a=
时,ymin=
,
∴dmin=
=
,此时P坐标为(
,
);
又y=-
x-4,令x=0求出y=-4,令y=0求出x=-3,
∴OA=3,OB=4,
∴在Rt△AOB中,根据勾股定理得:AB=
=5,
∴S△PAB的最小值为
×5×
=
.
又M(3,2),
则点M到直线AB的距离d=
|12+6+12| | ||
|
(2)假设抛物线上存在点P,使得△PAB的面积最小,设P坐标为(a,a2-4a+5),
∵y=3a2-8a+27中,△=64-12×27=-260<0,
∴y=3a2-8a+27中函数值恒大于0,
∴点M到直线AB的距离d=
|4a+3(a2-4a+5)+12| | ||
|
3a2-8a+27 |
5 |
又函数y=3a2-8a+27,当a=
4 |
3 |
65 |
3 |
∴dmin=
| ||
5 |
13 |
3 |
4 |
3 |
13 |
9 |
又y=-
4 |
3 |
∴OA=3,OB=4,
∴在Rt△AOB中,根据勾股定理得:AB=
32+42 |
∴S△PAB的最小值为
1 |
2 |
13 |
3 |
65 |
6 |
点评:此题考查了二次函数的图象与性质,一次函数与坐标轴的交点,勾股定理,坐标与图形性质,二次函数与坐标轴的交点,以及点到直线的距离公式,其中理解题中的阅读材料,灵活运用点到直线的距离公式是解本题的关键.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目