Question

【题目】在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=10，AD=BC=8，点P在射线BC上，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置(点B落在点E处)，

(1)如图1，当点P是BC中点时，连接CE，求证：CE∥AP；

(2)如图2，当点E落在CD延长线上时，求BP的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）20

【解析】

（1）根据折叠的性质得到∠BPA=∠APE，BP=PE，根据中点的定义得到BP=PC，根据等边对等角可知∠PEC=∠PCE，利用平角的定义以及三角形内角和定理即可求得∠APE=∠PEC，即可得证；

（2）根据折叠的性质得到AB=AE=，EP=BP，利用勾股定理求出DE的长，设CP的长为x，则BP=x+8，EP=x+8，再利用勾股定理即可求得x的值，即可得解.

（1）证明：∵△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置

∴∠BPA=∠APE，BP=PE

∵点P是BC中点

∴BP=PC

∴∠PEC=∠PCE

∵∠EPC+∠PEC+∠PCE=180°

∠EPC+∠BPA+∠APE=180°

∴∠APE=∠PEC

∴CE∥AP

（2）解：∵△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置

∴AB=AE=10，EP=BP

由勾股定理得：

∴

∴CE=10+16=16

设CP的长为x，则BP=x+8，EP=x+8

由勾股定理得：

解得：

∴BP=12+8=20