题目内容

【题目】已知二次函数的解析式为y=-x2+4x,该二次函数交x轴于OB两点,A为抛物线上一点,且横纵坐标相等(原点除外),P为二次函数上一动点,过Px轴垂线,垂足为D(a,0)(a>0),并与直线OA交于点C.

(1)AB两点的坐标;

(2)当点P在线段OA上方时,过Px轴的平行线与线段OA相交于点E,求PCE周长的最大值及此时P点的坐标;

(3)PCCO时,求P点坐标.

【答案】(1)B (4,0),A (3,3); (2)△PCE周长的最大值为4+2,P (1,3);(3)P点坐标为(3-,1+2)或(3+,1-2).

【解析】

(1)令y=0,-x2+4x=0,解方程即可得到点B的坐标,设点A坐标为(x,x),把A(x,x)代入y=-x2+4x中得:x=-x2+4x,解方程即可得出点A的坐标;

(2)根据题意画出图形,设点P的坐标为(x,-x2+4x),再求得PC=-x2+3x,由等腰三角形的性质得,当PC取最大值时,△PCE周长最大,进而求得当x=1时,PC最大,PC的最大值为-1+3=2,从而得出PCE周长的最大值及此时P点的坐标;

(3)当点P在点C上方时和当点P在点C下方时分别讨论分析.

解:(1)令y=0,则-x2+4x=0,

解得x1=0,x2=4.

∴点B坐标为(4,0),

设点A坐标为(x,x),把A(x,x)代入y=-x2+4x得,

x=-x2+4x,

解得x1=3,x2=0(舍去),

∴点A的坐标为(3,3);

(2)如图,设点P的坐标为(x,-x2+4x),

∵点A坐标为(3,3);

∴∠AOB=45°,

∴OD=CD=x,

∴PC=PD-CD=-x2+4x-x=-x2+3x,

∵PE∥x轴,

∴△PCE是等腰直角三角形,

∴当PC取最大值时,△PCE周长最大.

∵PE与线段OA相交,

∴0≤x≤1,

由PC=-x2+3x=-(x-)2可知,抛物线的对称轴为直线x=,且在对称轴左侧PC随x的增大而增大,

∴当x=1时,PC最大,PC的最大值为-1+3=2,

∴PE=2,CE=2

∴△PCE的周长为CP+PE+CE=4+2

∴△PCE周长的最大值为4+2

把x=1代入y=-x2+4x,得y=-1+4=3,

∴点P的坐标为(1,3);

(3)设点P坐标为(x,-x2+4x),则点C坐标为(x,x),如解图,

①当点P在点C上方时,P1C1=-x2+4x-x=-x2+3x,OC1x,

∵P1C1=OC1

∴-x2+3x=x,

解得x1=3-,x2=0(舍去).

把x=3-代入y=-x2+4x得,

y=-(3-)2+4(3-)=1+2

∴P1(3-,1+2),

②当点P在点C下方时,P2C2=x-(-x2+4x)=x2-3x,OC2x,

∵P2C2=OC2

∴x2-3x=x,

解得x1=3+,x2=0(舍去),

把x=3+代入y=-x2+4x,

得y=-(3+)2+4(3+)=1-2

∴P2(3+,1-2).

综上所述,P点坐标为(3-,1+2)或(3+,1-2).

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网