题目内容
【题目】如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,对角线AC、BD交于点P,且AB=BD,AP=4PC=4,则cos∠ACB的值是 .
【答案】.
【解析】
试题分析:如图:作BE⊥AD于E,交AC于O,则BE∥CD,由AB=BD得E是AD的中点,因此OE是△ACD的一条中位线,从而O是AC的中点,以O为圆心,OA为半径作圆,则由∠ABC=∠ADC=90°可知该圆经过A、B、C、D四点,易知 AP=4,PC=1,AC=AP+PC=5,因此,OA=OC=2.5.OP=OC﹣PC=1.5,由BE∥CD得,BP:PD=OP:PC=1.5,因此BP=1.5PD,从而 AB=BD=BP+PD=2.5PD,由相交弦定理得 BPPD=APPC=4,即 1.5PD2=4,因此 PD2=,从而 AB2=(2.5PD)2=6.25PD2=,由勾股定理得BC2=AC2﹣AB2=52﹣=,因此 BC=,∴cos∠ACB=BC:AC=.
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