Question

【题目】定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．

（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹）；

（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，∠ADC＝145°，对角线BD平分∠ABC．求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；

（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝30°，连接EG，若△EFG的面积为2，求FH的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）BD是四边形ABCD的“相似对角线”，见解析；（3）2

【解析】

（1）先求出AB，BC，AC，再分情况求出CD或AD，即可画出图形；

（2）先判断出∠A+∠ADB＝145°＝∠ADC，即可得出结论；

（3）先判断出△FEH∽△FHG，得出FH2＝FEFG，再判断出EQ＝FE，继而求出FE＝8，即可得出答案．

（1）解：如图1所示：

、

由勾股定理得：AB＝＝，BC＝＝2，∠ABC＝90°，AC＝5，

∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，

①当∠ACD＝90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，

∴＝＝，或＝＝2，

∴CD＝10，或CD＝2.5

②当∠CAD＝90°时，

同理：AD＝2.5或AD＝10；

（2）证明：∵∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠DBC＝35°，

∴∠A+∠ADB＝145°

∵∠ADC＝145°，

∴∠BDC+∠ADB＝145°，

∴∠A＝∠BDC，

∴△ABD∽△DBC，

∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”；

（3）解：∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”，

∴△EFH与△HFG相似，

∵∠EFH＝∠HFG，

∴△FEH∽△FHG，

∴＝，

∴FH2＝FEFG，

过点E作EQ⊥FG于Q，如图3所示：

∴EQ＝FEsin60°＝FE，

∵FG×EQ＝2，

∴FG×FE＝2，

∴FGFE＝8，

∴FH2＝FEFG＝8，

∴FH＝2．