Question

【题目】在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠DOC＝α，将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M．

（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；

（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，已知AC＝kBD，请猜想此时AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；

（3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，AD∥BC，此时（1）AC′与BD′的数量关系是否成立？∠AMB与α的大小关系是否成立？不必证明，直接写出结论．

Answer 1

【答案】（1）BD′＝AC′，∠AMB＝α，见解析；（2）AC′＝kBD′，∠AMB＝α，见解析；（3）AC′＝BD′成立，∠AMB＝α不成立

【解析】

（1）通过证明△BOD′≌△AOC′得到BD′＝AC′，∠OBD′＝∠OAC′，根据三角形内角和定理求出∠AMB＝∠AOB＝∠COD＝α；

（2）依据（1）的思路证明△BOD′∽△AOC′，得到AC′＝kBD′，设BD′与OA相交于点N，由相似证得∠BNO＝∠ANM，再根据三角形内角和求出∠AMB＝α；

（3）先利用等腰梯形的性质OA=OD,OB=OC,再利用旋转证得,由此证明△≌△，得到BD′＝AC′及对应角的等量关系，由此证得∠AMB＝α不成立．

解：（1）AC′＝BD′，∠AMB＝α，

证明：在矩形ABCD中，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，

∴OA＝OC＝OB＝OD，

又∵OD＝OD′，OC＝OC′，

∴OB＝OD′＝OA＝OC′，

∵∠D′OD＝∠C′OC，

∴180°﹣∠D′OD＝180°﹣∠C′OC，

∴∠BOD′＝∠AOC′，

∴△BOD′≌△AOC′，

∴BD′＝AC′，

∴∠OBD′＝∠OAC′，

设BD′与OA相交于点N，

∴∠BNO＝∠ANM，

∴180°﹣∠OAC′﹣∠ANM＝180°﹣∠OBD′﹣∠BNO，

即∠AMB＝∠AOB＝∠COD＝α，

综上所述，BD′＝AC′，∠AMB＝α，

（2）AC′＝kBD′，∠AMB＝α，

证明：∵在平行四边形ABCD中，OB＝OD，OA＝OC，

又∵OD＝OD′，OC＝OC′，

∴OC′＝OA，OD′＝OB，

∵∠D′OD＝∠C′OC，

∴180°﹣∠D′OD＝180°﹣∠C′OC，

∴∠BOD′＝∠AOC′，

∴△BOD′∽△AOC′，

∴BD′：AC′＝OB：OA＝BD：AC，

∵AC＝kBD，

∴AC′＝kBD′，

∵△BOD′∽△AOC′，

设BD′与OA相交于点N，

∴∠BNO＝∠ANM，

∴180°﹣∠OAC′﹣∠ANM＝180°﹣∠OBD′﹣∠BNO，即∠AMB＝∠AOB＝α，

综上所述，AC′＝kBD′，∠AMB＝α，

（3）∵在等腰梯形ABCD中，OA=OD,OB=OC,

由旋转得： ,

∴,

即,

∴△≌△,

∴AC′＝BD′, ,

设BD′与OA相交于点N，

∵∠ANB=+∠AMB=,,

∴,

∴AC′＝BD′成立，∠AMB＝α不成立．