题目内容

已知正方形ABCD，边长为3，对角线AC，BD交点O，直角MPN绕顶点P旋转，角的两边分别与线段AB，AD交于点M，N（不与点B，A，D重合）．设DN=x，四边形AMPN的面积为y．在下面情况下，y随x的变化而变化吗？若不变，请求出面积y的值；若变化，请求出y与x的关系式．
（1）如图1，点P与点O重合；
（2）如图2，点P在正方形的对角线AC上，且AP=2PC；
（3）如图3，点P在正方形的对角线BD上，且DP=2PB．

解：（1）当x变化时，y不变．
如图1，y=S_{四边形AMON}=S_{正方形AFOE}= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．

（2）当x变化时，y不变．
如图2，作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F．

∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD．
∴四边形AFPE是矩形，PF=PE．
∴四边形AFPE是正方形．
∵∠ADC=90°，
∴PE∥CD．
∴△APE∽△ACD．
∴ $\text{[math]}$ ．
∵AP=2PC，CD=3，
∴ $\text{[math]}$ ．
∴PE=2．
∵∠FPE=90°，∠MPN=90°，
∴∠FPN+∠NPE=90°，∠FPN+∠MPF=90°．
∴∠NPE=∠MPF．
∵∠PEN=∠PFM=90°，PE=PF，
∴△PEN≌△PFM．
∴y=S_{四边形AMON}=S_{正方形AFOE}=4．

（3）x变化，y变化．
作PE⊥AD，PF⊥AB，
∵∠MPF+∠MPE=90°，∠NPE+∠MPE=90°，
∴∠MPF=∠EPN，
又∵∠MFP=∠PEN=90°，
∴△MFP∽△NEP，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵点P在正方形的对角线BD上，且DP=2PB，PF∥AD，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴PF=1，EP=2，
∵DN=x，EN=2-x，
∴MF=1- $\text{[math]}$ ，
∴AM=1+ $\text{[math]}$ ，
∴y=S_{四边形AMPN}=S_梯形AEPM+S_△PEN= $\text{[math]}$ ×（2+1+ $\text{[math]}$ ）×1+ $\text{[math]}$ ×2×（2-x）=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，0＜x＜3．
分析：（1）结合图形可知点P与点O重合，当x变化时，y不变，即可得出答案；
（2）利用已知得出△APE∽△ACD，即可得出 $\text{[math]}$ ，进而得出△PEN≌△PFM，即可求出面积；
（3）根据DP=2PB，x变化，y变化，即可得出y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识，根据图形变化已知条件是近几年中考新题型，同学们应重点掌握．