Question

【题目】已知顶点为A（2，﹣1）的抛物线经过点B（0，3），与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）；
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）联结AB、BD、DA，求△ABD的面积；
（3）点P在x轴正半轴上，如果∠APB=45°，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵顶点为A（2，﹣1）的抛物线经过点B（0，3），

∴可以假设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，

把（0，3）代入可得a=1，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．

（2）解：令y=0，x2﹣4x+3=0，解得x=1或3，

∴C（1，0），D（3，0），

∵OB=OD=3，

∴∠BDO=45°，

∵A（2，﹣1），D（3，0），

∴∠ADO=45°，

∴∠BDA=90°，

∵BD=3 ，AD= ，

∴S△ABD= BDAD=3．

（3）解：∵∠BDO=∠DPB+∠DBP=45°，∠APB=∠DPB+∠DPA=45°，

∴∠DBP=∠APD，

∵∠PDB=∠ADP=135°，

∴△PDB∽△ADP，

∴PD2=BDAD=3 =6，

∴PD= ，

∴OP=3+ ，

∴点P（3+ ，0）．

【解析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，把（0，3）代入可得a=1，即可解决问题．（2）首先证明∠ADB=90°，求出BD、AD的长即可解决问题．（3）由△PDB∽△ADP，推出PD2=BDAD=3 =6，由此即可解决问题．
【考点精析】关于本题考查的抛物线与坐标轴的交点，需要了解一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．才能得出正确答案．