Question

一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，在行驶过程中，设客车离甲地的距离为y₁千米，出租车离甲地的距离为y₂千米，两地行驶的时间为x小时，y₁、y₂关于x的函数图象如图所示：
（1）设y₁=k₁x+b₁（k₁≠0），y₂=k₂x+b₂（k₂≠0），根据图象确定k₁、b₁、k₂、b₂的值，并说明k₁、k₂所表示的实际意义；
（2）若两车之间的距离为S千米，请写出S关于x的函数关系式；
（3）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距100千米，若客车进入A加油站时，出租车恰好进入B加油站，求A加油站离甲地的距离．

Answer 1

分析：（1）直接运用待定系数法就可以求出y₁、y₂关于x的函数图关系式；
（2）分为两种情况，在相遇前，两车之间的距离=总路程-客车行驶的路-出租车行驶的路程；当两车相遇后两车间的距离=客车行驶的路程+出租车行驶的路程-300求出其解即可；  
（3）分A加油站在甲地与B加油站之间，B加油站在甲地与A加油站之间两种情况列出方程求解即可．

解答：解：（1）设y₁=k₁x+b₁（k₁≠0），由图可知，函数图象经过点（0，0）和（5，300），
∴

b1=0 5k1+b1=300

，
解得：

b1=0 k1=60

，
∴y₁=60x（0≤x≤5），
设y₂=k₂x+b（k₂≠0），由图可知，函数图象经过点（0，300），（3，0），则

b=300  3k2+b2=0

，
解得：

k2=-100 b2=300

，
∴y₂=-100x+300（0≤x≤3）；
根据横、纵坐标所表示的意义知，k₁、k₂所表示的实际意义分别是客车的行车速度是60千米/小时，出租车的行车速度是100千米/小时；

（2）由题意，得
60x=-100x+300
x=

15

8

，
当0≤x＜

15

8

时，S=y₂-y₁=-160x+300；
当

15

4

≤x＜3时，S=y₁-y₂=160x-300；
当3≤x≤5时，S=60x；
即S=

-160x+300(0≤x＜ 15 8 ) 160x-300( 15 8 ≤x＜3) 60x(3≤x≤5)

；

（3）由题意，得
①当A加油站在甲地与B加油站之间时，（-100x+300）-60x=100，
解得x=

5

4

，
此时，A加油站距离甲地：60×

5

4

=75（km），
②当B加油站在甲地与A加油站之间时，60x-（-100x+300）=100，
解得x=2.5，此时，A加油站距离甲地：60×2.5=150km，
综上所述，A加油站到甲地距离为75km或150km．

点评：本题考查了分段函数，函数自变量的取值范围，用待定系数法求一次函数、正比例函数的解析式等知识点的运用，综合运用性质进行计算是解此题的关键，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力，注意：分段求函数关系式，题目较好，但是有一定的难度．