题目内容
【题目】如图，已知抛物线
经过
、
两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；
（3）如图，已知点N在抛物线上，且
.
①求出点N的坐标；
②在（2）的条件下，直接写出所有满足
的点P的坐标.
【答案】（1）
；（2）D点坐标为(2,-2) ；（3）①点N的坐标为
，②点P的坐标为
或
.
【解析】
（1）利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案即可；
（2）根据已知条件可求出OB的解析式为y=x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x-m．由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标；
（3）①设点N（n，
n+3），又点N在抛物线y=x2-3x上，代入抛物线的解析式即可求出n的值，进而得到N的坐标；
②首先求出直线A′B的解析式，进而由△P1OD∽△NOB，得出△P1OD∽△N1OB1，进而求出点P1的坐标，再利用翻折变换的性质得出另一点的坐标．
（1）
抛物线
经过点
，
.
解得：
抛物线的解析式是
（2）设直线OB的解析式为
，由点
，
得：
，解得
.
直线OB的解析式为
直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：
.
点D在抛物线 上.
可设
.
又点D在直线上，
，即
.
抛物线与直线只有一个公共点，
，解得：
此时
，
，
点坐标为(2,-2)
（3）①∵直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），
∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，3），
根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO，
设直线A′B的解析式为y=k2x+3，过点（4，4），
∴4k2+3=4，解得：k2=，
∴直线A′B的解析式是y=x+3，
∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，
∴BA′和BN重合，
即点N在直线A′B上，
∴设点N（n，n+3），又点N在抛物线y=x2-3x上，
∴=n2-3n，
解得：n1=-
，n2=4（不合题意，舍去）
∴N点的坐标为（-，
）．
②如图，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，
由①可知：N1 （-，-），B1（4，-4）．
∴O、D、B1都在直线y=-x上．
过D点做DP1∥N1B1，
∵△P1OD∽△NOB，
∴△P1OD∽△N1OB1，
∴P1为O N1的中点．
∴
，
∴点P1的坐标为（-
，-
）．
将△P1OD沿直线y=-x翻折，可得另一个满足条件的点到x轴距离等于P1到y轴距离，点到y轴距离等于P1到x轴距离，
∴此点坐标为：（，）．
综上所述，点P的坐标为（-，-）和（，）．
