题目内容

【题目】在Rt△ABC中,∠C=90°,Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置,点E在斜边AB上,连结BD,过点D作DF⊥AC于点F.

(1)如图1,若点F与点A重合,求证:AC=BC;

(2)若∠DAF=∠DBA,①如图2,当点F在线段CA的延长线上时,判断线段AF与线段BE的数量关系,并说明理由;

②当点F在线段CA上时,设BE=x,请用含x的代数式表示线段AF.

【答案】(1)证明见解析;(2)AF=BEAF=x.

【解析】

试题分析:(1)由旋转得到∠BAC=∠BAD,而DF⊥AC,从而得出∠ABC=45°,最后判断出△ABC是等腰直角三角形;

(2)①由旋转得到∠BAC=∠BAD,再根据∠DAF=∠DBA,从而求出∠FAD=∠BAC=∠BAD=60°,最后判定△AFD≌△BED,即可;

②根据题意画出图形,先求出角度,得到△ABD是顶角为36°的等腰三角形,再用相似求出,=,最后判断出△AFD∽△BED,代入即可.

试题解析:(1)由旋转得,∠BAC=∠BAD,∵DF⊥AC,∴∠CAD=90°,∴∠BAC=∠BAD=45°,∵∠ACB=90°,∴∠ABC=45°,∴AC=CB

(2)①由旋转得,AD=AB,∴∠ABD=∠ADB,∵∠DAF=∠ABD,∴∠DAF=∠ADB,∴AF∥BB,∴∠BAC=∠ABD,∵∠ABD=∠FAD

由旋转得,∠BAC=∠BAD,∴∠FAD=∠BAC=∠BAD=×180°=60°,由旋转得,AB=AD,∴△ABD是等边三角形,∴AD=BD,在△AFD和△BED中,∵∠F=BED,FAD=BED,AD=BD,∴△AFD≌△BED,∴AF=BE

②如图,由旋转得,∠BAC=∠BAD,∵∠ABD=∠FAD=∠BAC+∠BAD=2∠BAD,由旋转得,AD=AB,∴∠ABD=∠ADB=2∠BAD,∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°,∴∠BAD+2∠BAD+2∠BAD=180°,∴∠BAD=36°,设BD=x,作BG平分∠ABD,∴∠BAD=∠GBD=36°∴AG=BG=BC=x,∴DG=AD﹣AG=AD﹣BG=AD﹣BD,∵∠BDG=∠ADB,∴△BDG∽△ADB,∴,∴=,∵∠FAD=∠EBD,∠AFD=∠BED,∴△AFD∽△BED,∴,∴AF==x.

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