题目内容
【题目】已知：A是以BC为直径的圆上的一点，BE是⊙O的切线，CA的延长线与BE交于E点，F是BE的中点，延长AF，CB交于点P． 
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AF=3，BC=8，求AE的长．
【答案】
（1）证明：连接AB，OA，OF；
∵F是BE的中点，
∴FE=BF．
∵OB=OC，
∴OF∥EC．
∴∠C=∠POF．
∴∠AOF=∠CAO．
∵∠C=∠CAO，
∴∠POF=∠AOF．
∵BO=AO，OF=OF，
∴∠OAP=∠EBC=90°．
∴PA是⊙O的切线
（2）解：∵BE是⊙O的切线，PA是⊙O的切线，
∴BF=AF=3，
∴BE=6．
∵BC=8，∠CBE=90°，
∴CE=10．
∵BE是⊙O的切线，
∴EB2=AEEC．
∴AE=3.6．
【解析】（1）要想证PA是⊙O的切线，只要连接OA，求证∠OAP=90°即可；（2）先由切线长定理可知BF=AF，再在RT△BCE中根据勾股定理求出CE，最后由切割线定理求出AE的长．
【考点精析】本题主要考查了切线的判定定理的相关知识点，需要掌握切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线才能正确解答此题．
【题目】数学课上，李老师出示了如下框中的题目．
如图1，在∠AOB的内部有一条射线OC把∠AOB分成两个角，射线OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC，试探究∠MON与∠AOB之间的数量关系，并说明理由．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论：
①请你在下表中填上当∠AOB为60°、90°、120°时∠MON的大小：
∠AOB的度数 | 60° | 90° | 120° |
∠MON的度数 |
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②探索发现：无论∠AOB的度数是多少，∠MON与∠AOB的数量关系是不变的，请你直接写出结论：
∠MON ∠AOB．
（2）特例启发，解答题目：
如图2，如果∠AOB=α，请你求∠MON的大小（用α表示）．
（3）拓展结论，设计新题：
如图3，把一张报纸的一角斜折过去，使A点落在E点处，BC为折痕，BD是∠EBM的平分线，求∠CBD的度数．
