Question

【题目】四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．

（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；

（2）若AB=2，CE=，求CG的长度；

（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析;（2）CG= ;(3)∠EFC=120°或30°.

【解析】分析: （1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF=ED，根据正方形的判定定理证明即可；

（2）通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题.

（3）分两种情形考虑问题即可

详解:

（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，

∵∠DCA=∠BCA，

∴EQ=EP，

∵∠QEF+∠FEC=45°，∠PED+∠FEC=45°，

∴∠QEF=∠PED，

在Rt△EQF和Rt△EPD中，

，

∴Rt△EQF≌Rt△EPD，

∴EF=ED，

∴矩形DEFG是正方形；

（2）如图2中，在Rt△ABC中．AC=AB=2，

∵EC=，

∴AE=CE，

∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG=．

（3）①当DE与AD的夹角为30°时，∠EFC=120°，

②当DE与DC的夹角为30°时，∠EFC=30°

综上所述，∠EFC=120°或30°．

点睛: 本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题.