题目内容

【题目】如图所示,ABC的外接圆圆心O在AB上,点D是BC延长线上一点,DMAB于M,交AC于N,且AC=CD.CP是CDN的ND边的中线.

(1)求证:ABC≌△DNC;

(2)试判断CP与O的位置关系,并证明你的结论。

【答案】(1)证明见解析;(2)CP是O的切线.证明见解析

【解析】

试题分析:(1)由题意要证全等,根据圆周角定理及等量代换得到全等条件即可解答;

(2)连接OC,利用等量代换证明角OCP为直角即可解答.

试题解析:(1)DMAB,

∴∠AMN=90°

∴∠MAN=90°-MNA,

∵∠MNA=CND,

∵∠D=90°-CND,

∴∠MAN=D,

AC=CD,

AB为O的直径,

∴∠ACB=90°=NCD,

∴△ABC≌△DNC(ASA)

(2)CP是O的切线.证明如下:

连接OC

CP为CND的中线,

CP=PD=NP,

∴∠PCD=D=MAN.

PCD+NCP=90°MAN+MBC=90°

∴∠NCP=MBC,

OA=OC,

∴∠OCA=MAN

∴∠OCA+NCP=MAN+MBC=90°

CP是O的切线.

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