题目内容

【题目】已知过原点O的两直线与圆心为M(0,4),半径为2的圆相切,切点分别为P、Q,PQ交y轴于点K,抛物线经过P、Q两点,顶点为N(0,6),且与x轴交于A、B两点.
(1)求点P的坐标;
(2)求抛物线解析式;
(3)在直线y=nx+m中,当n=0,m≠0时,y=m是平行于x轴的直线,设直线y=m与抛物线相交于点C、D,当该直线与⊙M相切时,求点A、B、C、D围成的多边形的面积(结果保留根号).

【答案】
(1)解:如图1,

∵⊙M与OP相切于点P,

∴MP⊥OP,即∠MPO=90°.

∵点M(0,4)即OM=4,MP=2,

∴OP=2

∵⊙M与OP相切于点P,⊙M与OQ相切于点Q,

∴OQ=OP,∠POK=∠QOK.

∴OK⊥PQ,QK=PK.

∴PK= = =

∴OK= =3.

∴点P的坐标为( ,3)


(2)解:如图2,

设顶点为(0,6)的抛物线的解析式为y=ax2+6,

∵点P( ,3)在抛物线y=ax2+6上,

∴3a+6=3.

解得:a=﹣1.

则该抛物线的解析式为y=﹣x2+6


(3)解:当直线y=m与⊙M相切时,

则有 =2.

解得;m1=2,m2=6.

①m=2时,如图3,

则有OH=2.

当y=2时,解方程﹣x2+6=2得:x=±2,

则点C(2,2),D(﹣2,2),CD=4.

同理可得:AB=2

则S梯形ABCD= (DC+AB)OH= (4+2 )×2=4+2

②m=6时,如图4,

此时点C、点D与点N重合.

SABC= ABOC= ×2 ×6=6

综上所述:点A、B、C、D围成的多边形的面积为4+2 或6


【解析】(1)由切线的性质可∠MPO=90°,根据勾股定理可求出PO,然后由面积法可求出PK,然后运用勾股定理可求出OK,就可得到点P的坐标.(2)可设顶点为(0,6)的抛物线的解析式为y=ax2+6,然后将点P的坐标代入就可求出抛物线的解析式.(3)直线y=m与⊙M相切有两种可能,只需对这两种情况分别讨论就可求出对应多边形的面积.
【考点精析】通过灵活运用切线长定理和等腰三角形的性质,掌握从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角;等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角)即可以解答此题.

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