题目内容

如图，Rt△AOB中，∠OAB=90°，以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，将△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限的点C处，已知B点坐标是 $数学公式$ ；一个二次函数的图象经过O、C、A三个点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）直线OC上是否存在点Q，使得△AQB的周长最小？若存在请求出Q点的坐标，若不存在请说明理由；
（3）若抛物线的对称轴交OB于点D，设P为线段DB上一点，过P点作PM∥y轴交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在请求出P点坐标，若不存在请说明理由．

解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H；
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，
∴OB=4，OA=2 $\text{[math]}$ ；
由折叠的性质知：∠COB=30°，OC=AO=2 $\text{[math]}$ ，
∴∠COH=60°，OH= $\text{[math]}$ ，CH=3；
∴C点坐标为（ $\text{[math]}$ ，3）．
∵抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过C（ $\text{[math]}$ ，3）、A（2 $\text{[math]}$ ，0）两点，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ；
∴此抛物线的函数关系式为：y=-x²+2 $\text{[math]}$ x．

（2）作A关于OC的对称点A′，BA′交OC于点Q．
∵B点坐标是 $\text{[math]}$
∴tan∠BOA= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴∠BOA=30°
∴∠BOC=30°，
∴∠A′OC=∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°，
∴OA′与y轴的夹角是30°．
又∵OA=OA′=2 $\text{[math]}$ ，
∴A′的坐标是：（- $\text{[math]}$ ，3）
设直线A′B的解析式是y=kx+b
根据题意得： $\text{[math]}$
则直线A′B的解析式是y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ．
直线OC的解析式是：y= $\text{[math]}$ x．
解方程组： $\text{[math]}$ 解得： $\text{[math]}$
故Q的坐标是：（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
（3）存在．
因为y=-x²+2 $\text{[math]}$ x的顶点坐标为（ $\text{[math]}$ ，3），
即为点C，MP⊥x轴，垂足为N，设PN=t；
因为∠BOA=30°，
所以ON= $\text{[math]}$ t，
∴P（ $\text{[math]}$ t，t）；
作PF⊥CD，垂足为F，ME⊥CD，垂足为E；
把x= $\text{[math]}$ t代入y=-x²+2 $\text{[math]}$ x，
得y=-3t²+6t，
∴M（ $\text{[math]}$ t，-3t²+6t），E（ $\text{[math]}$ ，-3t²+6t），
同理：F（ $\text{[math]}$ ，t），D（ $\text{[math]}$ ，1）；
要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE=FD，
即3-（-3t²+6t）=t-1，
解得t= $\text{[math]}$ ，t=1（舍），
∴P点坐标为（ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∴存在满足条件的P点，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）在Rt△AOB中，根据AB的长和∠BOA的度数，可求得OA的长，根据折叠的性质即可得到OA=OC，且∠BOC=∠BOA=30°，过C作CD⊥x轴于D，即可根据∠COD的度数和OC的长求得CD、OD的值，从而求出点C的坐标．将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求出待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式；
（2）作出A关于OC的对称点，连接AA′，与OC的交点就是所求的点，求出OC与AA′的解析式，解方程组即可；
（3）根据（2）所得抛物线的解析式可得到其顶点的坐标（即C点），设直线MP与x轴的交点为N，且PN=t，在Rt△OPN中，根据∠PON的度数，易得PN、ON的长，即可得到点P的坐标，然后根据点P的横坐标和抛物线的解析式可求得M点的纵坐标，过M作ME⊥CD（即抛物线对称轴）于E，过P作PQ⊥CD于Q，若四边形CDPM是等腰梯形，那么CE=QD，根据C、M、P、D四点纵坐标，易求得CE、QD的长，联立两式即可求出此时t的值，从而求得点P的坐标．
点评：此题主要考查了图形的旋转变化、解直角三角形、二次函数解析式的确定、等腰梯形的判定和性质等重要知识点，难度较大