题目内容
如图在Rt△AOB中，∠BAO=90°，O为坐标原点，B在x轴正半轴上，A在第一象限，OA和AB的长是方程x2-3| 5 |
（1）求直线AB的解析式；
（2）将△AOB沿垂直于x轴的线段CD折叠（点C在x轴上，且不与点B重合，点D在线段AB上），使点B落在x轴上，对应点为E，是否存在这样的点C，使得△AED为直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）由OA和AB的长是方程x2-3
+10=0的两根，且OA＜AB，解此方程即可求得OA与AB的长，然后由勾股定理求得OB的长，则可求得点B的坐标；然后作AF⊥x轴于F，由直角三角形的性质，即可求得AF的长，继而由勾股定理求得OF的长，即可求点A的坐标，然后由待定系数法求得直线AB的解析式；
（2）分别从ⅰ）当Rt△AED以点A为直角顶点时，点E与原点O重合与ⅱ）当Rt△AED以点E为直角顶点时去分析求解即可求得答案．
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（2）分别从ⅰ）当Rt△AED以点A为直角顶点时，点E与原点O重合与ⅱ）当Rt△AED以点E为直角顶点时去分析求解即可求得答案．
解答：解：（1）∵x2-3
+10=0，
即（x-
）（x-2
）=0，
∴x1=
，x2=2
，
∵OA和AB的长是方程x2-3
+10=0的两根，且OA＜AB，
∴OA=
，AB=2
，
∵∠BAO=90°，
∴OB=
=5，
作AF⊥x轴于F，如图①：
则AF=
=
=2，
∴OF=
=
=1，
∴A（1，2），B（5，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则有
，
解得
，
∴直线AB的解析式为：y=-
x+
；
（2）存在．
分两种情况讨论：
ⅰ）当Rt△AED以点A为直角顶点时，点E与原点O重合，如图②．
∵OC=BC=
OB=
，
∴C1（
，0）；
ⅱ）当Rt△AED以点E为直角顶点时，如图③，过点A作AF⊥x轴于F．
则OF=1．
∵∠AED=90°，
∴∠AEO+∠DEC=90°．
∵∠DEC=∠DBC，
∴∠AEO+∠DBC=90°．
又∵∠AOE+∠DBC=90°，
∴∠AOE=∠AEO．
∴△AOE是等腰三角形，
∴OE=2OF=2，
∴BE=3．
∴EC=
，
∴OC=OE+EC=2+
=
．
∴C2（
，0）．
综上所述，存在这样的点C，使得△AED为直角三角形，点C的坐标为：C1（
，0）和C2（
，0）．
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即（x-
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∴x1=
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∵OA和AB的长是方程x2-3
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∴OA=
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∵∠BAO=90°，
∴OB=
(
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作AF⊥x轴于F，如图①：
则AF=
| OA•AB |
| OB |
| ||||
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∴OF=
| OA2-AF2 |
(
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∴A（1，2），B（5，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则有
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解得
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∴直线AB的解析式为：y=-
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（2）存在．
分两种情况讨论：
ⅰ）当Rt△AED以点A为直角顶点时，点E与原点O重合，如图②．
∵OC=BC=
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| 2 |
∴C1（
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ⅱ）当Rt△AED以点E为直角顶点时，如图③，过点A作AF⊥x轴于F．
则OF=1．
∵∠AED=90°，
∴∠AEO+∠DEC=90°．
∵∠DEC=∠DBC，
∴∠AEO+∠DBC=90°．
又∵∠AOE+∠DBC=90°，
∴∠AOE=∠AEO．
∴△AOE是等腰三角形，
∴OE=2OF=2，
∴BE=3．
∴EC=
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∴OC=OE+EC=2+
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∴C2（
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综上所述，存在这样的点C，使得△AED为直角三角形，点C的坐标为：C1（
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| 2 |
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点评：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及一元二次方程的解法．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．
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两根，且OA＜AB．
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