题目内容

精英家教网如图在Rt△AOB中,∠BAO=90°,O为坐标原点,B在x轴正半轴上,A在第一象限.OA和AB的长是方程x2-3
5
x+10=0
两根,且OA<AB.
(1)求直线AB的解析式;
(2)将△AOB沿垂直于x轴的线段CD折叠(点C在x轴上,且不与点B重合,点D在线段AB上),使点B落在x轴上,对应点为E,设点C的坐标为(x,0).
①是否存在这样的点C,使得△AED为直角三角形?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由;
②设△CDE与△AOB重叠部分的面积为S,直接写出S与点C的横坐标x之间的函数关系式(包括自变量x的取值范围).
分析:(1)根据题意可直接求出OA、AB的长,又∠BAO=90°,由勾股定理可求OB,作OB边上的高AF,用面积法及勾股定理可求0F、AF,从而得出A点坐标,根据“两点法”求直线AB解析式.
(2)△AED按直角顶点分为两类:①A点为直角顶点,此时E、O两点重合,C点为OB的中点;②E点为直角顶点,过点A作AF⊥x轴于F,利用等腰三角形的性质解题.
解答:精英家教网解:(1)解方程x2-3
5
x+10=0
得两根为x1=
5
x2=2
5

因为OA和AB的长是方程x2-3
5
x+10=0
两根,且OA<AB
所以OA=
5
AB=2
5

而∠BAO=90°,则OB=
(
5
)
2
+(2
5
)
2
=5

作AF⊥x轴于F,如图
AF=
OA•AB
OB
=
5
•2
5
5
=2

那么OF=
(
5
)
2
-22
=1

∴A(1,2),B(5,0).
设直线AB的解析式为y=kx+b,则有
k+b=2
5k+b=0
精英家教网
解得
k=-
1
2
b=
5
2

∴直线AB的解析式为y=-
1
2
x+
5
2


(2)①存在.
分两种情况讨论:
ⅰ)当Rt△AED以点A为直角顶点时,点E与原点O重合,如图.
∵OC=BC=
1
2
OB=
5
2

∴C1
5
2
,0);
ⅱ)当Rt△AED以点E为直角顶点时,如图,过点A作AF⊥x轴于F.OF=1.精英家教网
∵∠AED=90°,
∴∠AEO+∠DEC=90°.
∵∠DEC=∠DBC,
∴∠AEO+∠DBC=90°.
又∵∠AOE+∠DBC=90°,
∴∠AOE=∠AEO.
∴△AOE是等腰三角形,
∴OE=2OF=2,
∴BE=3.
∴EC=
3
2

∴OC=OE+EC=2+
3
2
=
7
2

∴C2
7
2
,0).
综上所述,存在这样的点C,使得△AED为直角三角形,点C的坐标为:
C1
5
2
,0)和C2
7
2
,0).
②当1≤x<
5
2
时,△CDE与△AOB重叠部分的面积即为△CDE的面积,由直角三角形的面积公式即可求解;
S与x之间的函数关系式如下:
S=
-
13
12
x2+
50
12
x-
25
12
(1≤x<
5
2
)
1
4
x2-
5
2
x+
25
4
(
5
2
≤x<5)
点评:本题考查了点的坐标的求法,待定系数法求直线解析式,折叠问题及分类讨论的数学思想.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网