Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AC平分∠DAB，直线DC与AB的延长线相交于点P，AD与PC延长线垂直，垂足为点D，CE平分∠ACB，交AB于点F，交⊙O于点E．
（1）求证：PC与⊙O相切；
（2）求证：PC=PF；
（3）若AC=8，tan∠ABC=，求线段BE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）连接OC，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠DAC=∠OCA，得到OC∥AD，根据平行线的性质得到OC⊥PD，根据切线的判定定理证明结论；
（2）根据圆周角定理、三角形的外角的性质证明∠PFC=∠PCF，根据等腰三角形的判定定理证明；
（3）连接AE，根据正切的定义求出BC，根据勾股定理求出AB，根据等腰直角三角形的性质计算即可．

（1）证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，又AD⊥PD，

∴OC⊥PD，
∴PC与⊙O相切；
（2）证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴弧AE=弧BE，
∴∠ABE=∠ECB，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵∠BCP+∠OCB=90°，
∴∠BCP=∠BAC，
∵∠BAC=∠BEC，
∴∠BCP=∠BEC，
∵∠PFC=∠BEC+∠ABE，∠PCF=∠ECB+∠BCP，
∴∠PFC=∠PCF，
∴PC=PF；
（3）解：连接AE，

在Rt△ACB中，tan∠ABC=，AC=8，
∴BC=6，
由勾股定理得，AB==10，
∵弧AE=弧BE，
∴AE=BE，
则△AEB为等腰直角三角形，
∴BE=．