Question

△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，抛物线y=x²-2ax+b²交x轴于两点M，N，交y轴于点P，其中M的坐标是（a+c，0）．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）若S_△MNP=3S_△NOP，①求cosC的值；②判断△ABC的三边长能否取一组适当的值，使三角形MND（D为抛物线的顶点）是等腰直角三角形？如能，请求出这组值；如不能，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵抛物线y=x²-2ax+b²经过点M（a+c，0）
∴（a+c）²-2a（a+c）+b²=0（1分）
∴a²+2ac+c²-2a²-2ac+b²=0
∴b²+c²=a²．（5分）
由勾股定理的逆定理得：△ABC为直角三角形；（2分）

（2）①如图所示；
∵S_△MNP=3S_△NOP
∴MN=3ON即MO=4ON．（5分）
又M（a+c，0）
∴N(

a+c

4

，0)（3分）
∴a+c，

a+c

4

是方程x²-2ax+b²=0的两根
∴(a+c)+

a+c

4

=2a3．（5分）
∴c=

3

5

a（4分）
由（1）知：在△ABC中，∠A=90°
由勾股定理得b=

4

5

a．（5分）
∴cosC=

b

a

=

4

5

（5分）
②能．（5分）
由（1）知y=x²-2ax+b²=x²-2ax+a²-c²=（x-a）²-c²
∴顶点D（a，-c²）（6分）
过D作DE⊥x轴于点E则NE=EM，DN=DM
要使△MND为等腰直角三角形，只须ED=

1

2

MN=EM．（5分）
∵M（a+c，0）D（a，-c²）
∴DE=c²EM=c
∴c²=c又c＞0，
∴c=1（7分）
∵c=

3

5

ab=

4

5

a
∴a=

5

3

b=

4

3

．（5分）
∴当a=

5

3

，b=

4

3

，c=1时，△MNP为等腰直角三角形．（8分）