题目内容
【题目】如图,在ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点,BE、DF分别交AC于点G、H,连接DG、BH.
(1)求证:四边形EBFD是平行四边形;
(2)四边形GBHD是平行四边形吗?请说明理由;
(3)若GD=CH,试判断AC与GH之间的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2)是,证明详见解析;(3)AC=3GH,理由详见解析
【解析】
(1)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判断;
(2)根据(1)中结论,可得AD=BC,AD∥BC,BE∥DF,从而证明△ADH≌△CBG,再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可;
(3)先证明△AEG∽△CBG,得出相似比,从而得到AC=3AG及AH=2CH,进而得出AC与GH的数量关系.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,DE∥BF,
∵E、F分别是AD、BC中点,
∴DE=BF,
∴四边形EBFD是平行四边形;
(2)解:∵四边形EBFD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,BE∥DF,
∴∠DAH=∠BCG,∠AHD=∠CGB,
在△ADH与△CBG中,,
∴△ADH≌△CBG(AAS),
∴DH=BG,
∵DH∥BG,
∴四边形GBHD是平行四边形;
(3)解:AC与GH之间的数量关系为:AC=3GH,
理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,E、F分别是AD、BC的中点,
∴BC=AD=2AE,AE∥BC,
∴△AEG∽△CBG,
∴,
∴CG=2AG,
∴AC=3AG,即AG=AC,
同理可得:AH=2CH,
∴AC=3CH,即CH=AC,
∴GH=AC,
即AC=3GH.

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