Question

已知⊙、⊙外切于点，经过点的任一直线分别与⊙、⊙交于点、，
（1）若⊙、⊙是等圆（如图1），求证；
（2）若⊙、⊙的半径分别为、（如图2），试写出线段、与、之间始终存在的数量关系（不需要证明）．
  

Answer 1

解：（1）联结．
∵⊙．⊙外切于点，∴点T在上．                                  
如图，过．分别作．，垂足为、， 

∴ ∥．                                                            
∴ ．                   
∵⊙．⊙是等圆，∴．   
∴，
∴．                        
在⊙中，
∵ ，
∴．
同理 ．                                                   
∴，即．                                          
（2）线段．与、之间始终存在的数量关系是．               

（1）连接O₁O₂，如图1所示，根据两圆外切时，两圆心连线过切点，得到O₁O₂过T点，由垂直得到一对直角相等，再由对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到△O₁CT与△O₂DT，由相似得比例，又两圆为等圆，半径相等可得出，可得出CT=DT，又O₁C⊥AT，利用垂径定理得到CT等于AT的一半，同理DT等于BT的一半，等量代换可得出AT=BT，得证；
（2）线段AT、BT与R、r之间始终存在的数量关系是，理由为：连接O₁O₂，如图2所示，根据两圆外切时，两圆心连线过切点，得到O₁O₂过T点，由垂直得到一对直角相等，再由对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到△O₁CT与△O₂DT，由相似得比例，将O₁T=R，O₂T=r代入，得到CT与DT的比值为R：r，又O₁C⊥AT，利用垂径定理得到CT等于AT的一半，同理DT等于BT的一半，等量代换可得出AT与BT的比值为R：r．