Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点，其中点A，C的坐标分别为（1，0），（﹣4，0），抛物线的顶点为点D．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上的一个动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段FE的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使△PEF是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A，C的坐标分别为（1，0），（﹣4，0），

∴AC=5．

∵△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，

∴BC=AC=5．

∴B（﹣4，﹣5）．

将点A和点B的坐标代入得： ，解得： ，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．

（2）解：如图1所示：

设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A和点B的坐标代入得： ，解得：k=1，b=﹣1．

所以直线AB的解析式为y=x﹣1．

设点E的坐标为（t，t﹣1），则点F的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3）．

∴EF=﹣t2﹣2t+3﹣（t﹣1）=﹣t2﹣3t+4=（t+ ）2+ ．

∴当t=﹣ 时，FE取最大值 ，此时，点E的坐标为（﹣ ，﹣ ）．

（3）解：存在点P，能使△PEF是以EF为直角边的直角三角形．

理由：如图所示：过点F作直线a⊥EF，交抛物线于点P，过点E作直线b⊥EF，交抛物线P′、P″．

由（2）可知点E的坐标为（t，t﹣1），则点F的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3），t=﹣ ，

∴点E（﹣ ，﹣ ）、F（﹣ ， ）．

①当﹣t2﹣2t+3= 时，解得：x=﹣ 或x=﹣ （舍去）．

∴点P的坐标为（﹣ ， ）．

②当﹣t2﹣2t+3=﹣ 时，解得：x=﹣1+ 或x=﹣1﹣ ．

∴点P′（﹣1﹣ ，﹣ ），P″（﹣1+ ，﹣ ）．

综上所述，点P的坐标为（﹣ ， ）或（﹣1﹣ ，﹣ ）或P″（﹣1+ ，﹣ ）．

【解析】（1）要求解析式关键在于求B点坐标，由△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，BC=AC=5．可求出B（﹣4，﹣5），把A、B坐标代入解析式即可；（2）求最值问题可化归为函数最值问题，因此须构建以E点横坐标t为自变量、EF长度为因变量的函数，用t的代数式表示EF，EF是竖直线段，其长度可用上端点纵坐标减下端点纵坐标，构建函数后，若是二次函数可用配方法求出最值；（3）以EF为直角边的直角三角形可分为两类：以E为直角顶点；以F为直角顶点；因此须过E、F分别作EF的垂线 与抛物线的交点就是P点.