题目内容

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，AM=CM，MP⊥AB于点P.求证：BP2=AP2+BC2.

【答案】证明见解析

【解析】

在直角三角形中，连接BM，利用勾股定理得到AB2-AC2+（AM2-MP2）=BC2+（MC2-MP2）①，AM2-MP2=AP2②，MC2+BC2-MP2=BM2-MP2=BP2③．把②③代入①证得结论．

连接BM，如图，

∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，

∴AB2=BC2+AC2，则AB2-AC2=BC2．

又∵在直角△AMP中，AP2=AM2-MP2，

∴AB2-AC2+（AM2-MP2）=BC2+（AM2-MP2）．

又∵AM=CM，

∴AB2-AC2+（AM2-MP2）=BC2+（MC2-MP2），①

∵△APM是直角三角形，∴AM2=AP2+MP2，则AM2-MP2=AP2，②

∵△BPM与△BCM都是直角三角形，

∴BM2=BP2+MP2=MC2+BC2，

MC2+BC2-MP2=BM2-MP2=BP2，③

把②③代入①，得

AB2-AC2+AP2=BP2，即BP2=AP2+BC2．

练习册系列答案
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