Question

如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于M，有下面4个结论：
①射线BD是△ABC是角平分线；②图中共有三个等腰三角形；③△BCD的周长=AB+BC；④△AMD≌△BCD．
其中正确的有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，然后根据等边对等角的性质求出∠ABD，再根据三角形的内角和定理以及等腰三角形两底角相等求出ABC、∠C的度数，再求出∠CBD，然后对各选项分析判断后利用排除法求解．

解答：解：∵MN是AB的中垂线，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=

1

2

（180°-36°）=72°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°，
∴∠ABD=∠CBD，射线BD是△ABC是角平分线，故①正确；
在△BCD中，∠BDC=180°-∠CBD-∠C=180°-36°-72°=72°，
∴∠C=∠BDC，
∴△BCD是等腰三角形，
等腰三角形还有△ABC，△ABD，共3个，故②正确；
△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=AB+BC，故③正确；
④△AMD是有一个锐角是36°的直角三角形，△BCD是顶角为36°的等腰三角形，两三角形不全等，故本小题错误；
综上所述，正确的有①②③共3个．
故选C．

点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定，根据度数相等求得相等的角是解题的关键．