Question

在ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F.

（1）在图1中，证明CE=CF；
（2）若，∠BAD=90°， G是EF的中点（如图2），连结OG，判断OG与BD的位置关系与数量关系，并给出证明；
（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，连结OG（如图3），判断OG与BD的位置关系与数量关系，并给出证明.

Answer 1

（1）通过证明∠BAE=∠DAF从而得出EC=FC
（2）OG=BD,  OG⊥BD
（3）BD=OG, OG⊥BD

试题分析：（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC,AB∥CD, ∴∠DAF="∠CEF," ∠BAE=∠DFE,
∵∠BAE="∠DAF," ∴EC=FC （运用两直线平行，内错角相等即可。）
（2）证明：连结BG,DG,

易知在Rt△ABE中∠BAE=45°，
所以BE=AB
∵BE=AB=DC,EG=CG,∠BEG=135°=∠DCG
∴△BEG≌△DCG，所以BG=DG
∴∠BGE=∠DGC
∴∠BGD=∠EGC=90°
∴△BDG是等腰直角三角形
∴∠BDG=45°
∴根据等腰三角形三线合一可得 OG=BD,  OG⊥BD    
（3） 证明：连BG、CG

易证四边形CEGF是菱形
又∠ABC=120°
∴EG=CG
又∠BEG=120°=∠DCG，BE=AB=DC
∴△BEG≌△DCG
∴BG=DG，∠BGE=∠DGC
∴∠BGD=∠EGC=60°
∴△BGD是等边三角形
∴∠BDG=60°   
所以，根据三线合一可知OG⊥BD。在Rt△DEG中，OD=，又因为BD=2OD，所以：BD=OG
点评：本题难度较大，主要考查学生对全等三角形的判断及性质综合运用能力，注意数形结合应用，作辅助线构成全等三角形为解题关键。